(1-2)Comencemos recordando el enunciado del principio de inducción, introducido en el capítulo 1:
Principio de inducción:
(1) Si la afirmación A(|) es verdadera.
(2) Y si la siguiente implicación es verdadera: si para un número natural cualquiera m, si A(m) es verdadero, entonces A(m |) es también verdadero.
(3) Conclusión: A(n) es verdadero para todo número natural n.
¿Con qué derecho podemos afirmar que A(n) se tiene para todo n? Pensemos en esto. ¿Qué significa cuando decimos: para todo n, A(n)? ¿Qué queremos decir con: para todo n? Expresemos estas preguntas entablando un diálogo:
■ Mi respetado oponente me dice: afirmas que para todo n, A(n). ¡Pruébalo para este n!
■ Yo le digo: correcto, si admites que A(|) es verdadero, y que si A(m) entonces A(m |) (para todo m), puedo demostrar que tú puedes aseverar A(n). Vivimos en un país libre, bajo el imperio de la ley, y cualquier persona puede negar cualquier norma. Pero si una persona admite reglas y admite A(|), y si admite que si A(|) implica A(||), entonces debe admitir A(||).
Digamos entonces que mi oponente ha aceptado A(||) y que ha aceptado también que A(||) implica A(|||). Entonces acepta A(|||). Con un paso más aceptará A(||||), y este mismo procedimiento le permitirá aceptar A(n) para cualquier n, pues sabemos cómo se construye dicho número natural n.
Así, el principio de inducción significa simplemente una secuencia de argumentos que se inicia en A(|) y termina en A(n) para cualquier n.
De acuerdo con la discusión desarrollada en la sección 2.2.4, la suma se define recursivamente como
a + (b + 1) — (a + b) + 1 (B.1)
cualesquiera sean los números naturales m y n. Ahora bien, usando esta definición recursiva de suma queremos demostrar la ley de asociatividad, a saber,
a + (b + c) — (a + b) + c (B.2)
para cualquier trío de números naturales a, b, c. La demostración de la ley de asociatividad se basa en el principio de inducción. Para ello, la ley de asociatividad (B.2) la consideramos como una proposición aritmética que depende del número natural c:
A(c) : a + (b + c) — (a + b) + c (B.3)
para cualquier par de números naturales a y b.
La validez de A(1) se sigue inmediatamente de la definición recursiva de suma (B.1). Ahora, de acuerdo con el esquema que subyace al principio de inducción, suponemos que A(c) es válido y queremos probar que A(c + 1) es válido, es decir, queremos buscar argumentos que nos permitan pasar de A(c) a A(c + 1). Para ello, notemos en primer lugar que por la definición (B.1) se tiene que
b + (c + 1) — (b + c) + 1.
Por lo tanto, si sustituimos esta última igualdad en A(c + 1) obtenemos
a + [b + (c + 1)] = a + [(b + c) + 1]. (B.4)
Aplicando la misma definición recursiva de suma (B.1) al elemento que está al lado izquierdo de la igualdad (B.4), se obtiene que
a + [(b + c) + 1] = [a + (b + c)] + 1. (B.5)
Pero por otro lado sabemos que A(c) es válido, es decir, a + (b + c) = (a + b) + c. Usando esta última igualdad en (B.5) obtenemos
[a + (b + c)] + 1 = [(a + b) + c] + 1. (B.6)
Aplicando nuevamente la definición recursiva de suma (B.1) al elemento que está a la izquierda de la igualdad (B.6), se obtiene que
[(a + b) + c] + 1 = (a + b) + (c + 1). (B.7)
Por lo tanto, combinando todas las igualdades anteriores, se verifica que
a + [b + (c + 1)] = (a + b) + (c + 1),
que corresponde a A(c + 1). Por ello, la ley de asociatividad es válida por el principio de inducción.
Comencemos demostrando que
a + 1 = 1 + a (C.1)
para cualquier número natural a. Es decir, nuestra proposición aritmética está dada por
A(a) : a + 1 = 1 + a. (C.2)
Para probar A(a) para todo a, comenzamos probando que A(1) es válido. En efecto, A(1) es válido pues 1 + 1 = 1 + 1.
Probemos ahora que si A(a) es válido, entonces también lo es A(a + 1). En efecto, dado que A(a) es válido, se tiene que
(a + 1) + 1 = (1 + a) + 1. (C.3)
Por la definición recursiva de suma (B.1) se tiene que
(1 + a) + 1 = 1 + (a + 1). (C.4)
Por tanto, de las igualdades (C.3) y (C.4) se sigue que
(a + 1) + 1 = 1 + (a + 1).
Probemos ahora que, cualesquiera sean los números naturales a y b,
a + b = b + a.
Es decir, consideremos la proposición
B(b) : a + b = b + a
para cualquier número natural a. Notemos en primer lugar que B(1) es válido, pues (C.1) es válido.
Ahora bien, supongamos que B(b) es válido. Establezcamos la validez de B(b +1). En efecto, por la definición recursiva de suma (B.1), se tiene que
a + (b + 1) = (a + b) + 1. (C.5)
Pero B(b) es válido, por lo que se tiene
(a + b) + 1 = (b + a) + 1. (C.6)
Aplicando nuevamente la definición recursiva de suma, se obtiene que
(b + a) + 1 = b + (a + 1). (C.7)
Pero (C.1) es válida: usándola, se tiene que
b + (a + 1) = b + (1 + a). (C.8)
Aplicando la ley de asociatividad, se obtiene que
b + (1 + a) = (b + 1) + a. (C.9)
Por lo tanto, de (C.5) y (C.9) se tiene que
a + (b + 1) = (b + 1) + 1.
Terminemos mencionando que la ley de conmutatividad depende de la ley de asociatividad.
Recordemos la definición recursiva de multiplicación: para cualquier par de números naturales a y b,
(i) a · 1 = a, (ii) a · (b + 1) = a · b + a. (D.1)
Ahora bien, queremos demostrar la ley distributiva
a · (b + c) = aḃ + a · c.
Definimos la proposición aritmética A(c) como
A(c) : a · (b + c) = aḃ + a · c (D.2)
para cualquier par de números naturales a y b.
En primer lugar, establecemos la validez de A(1), es decir, a · (b + 1) = a · b + 1. Esto es válido por la definición recursiva de multiplicación (D.1). Ahora supongamos que A(c) es válido y probemos la validez de A(c + 1). Escribimos esta vez la cadena de argumentos de forma compacta como sigue:
a · [b + (c + 1)] = a · [(b + c) + 1] [por definición (B.1)]
a · [(b + c) + 1] = a · (b + c) + a [por definición (D.1)]
a · (b + c) + a = (a · b + a · c) + a [pues A(c) es válido]
(a · b + a · c) + a = a · b + (a · c + a) [por la asociatividad]
a · b + (a · c + a) = a · b + [a · (c + 1)] [por definición (D.1)]
De esta cadena de argumentos se sigue que
a · [b + (c +1)] = a · b + a · (c + 1),
es decir, A(c + 1).
Se dejan como ejercicios probar la asociatividad y la conmutatividad de la multiplicación.
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τη τρίαδα
En los números naturales se plantea, en su forma más sencilla, el problema del conocimiento.
HERMANN WEYL (1885-1955).
Aprender Matemática, aprender a aprender. Esta invitación la concretaremos en torno al aprendizaje de un concepto matemático fundamental, la recursividad. ¿Por qué escogemos un concepto en lugar de una serie de temas matemáticos presentes, por ejemplo, en un currículum de Matemática?
Comencemos distinguiendo entre metodología de enseñanza/aprendizaje y organización de los contenidos que serán enseñados. Parece haber variados esfuerzos por mejorar o innovar en los aspectos metodológicos de la enseñanza de la Matemática. Pero también pareciera que estos intentos no se cuestionan el fundamento filosófico subyacente a los contenidos matemáticos mismos. Solo un ejemplo, que sin duda conoces: ¿sabes por qué los alumnos, desde sus primeros acercamientos con la Matemática, aprenden a relacionar grupos de objetos por medio de flechas? Técnicamente, están haciendo biyecciones (relaciones uno a uno). Pues bien, lo hacen porque, explícita o implícitamente, los contenidos matemáticos se organizan siguiendo la escuela formalista-estructuralista de Matemática, la cual se ha desarrollado fuertemente durante el siglo XX, y uno de sus objetivos es estudiar las propiedades del continuo y de los números transfinitos. Nunca, durante su escolaridad, los alumnos se enfrentarán a estos conceptos, aunque sí aprenderán ciertos rudimentos matemáticos que están basados en dichos conceptos.
En este libro quisimos comenzar preguntándonos por la organización de los contenidos matemáticos. Para ello adoptamos la llamada postura intuicionista/constructivista, a saber, que la Matemática se basa en la actividad que denominamos contar.
La primera consecuencia de esta opción es entender que la Matemática es todo lo que se ha desarrollado hasta el día de hoy. La Matemática tiene, por tanto, una relación con la historia de la humanidad. La segunda consecuencia se conecta con el proceder matemático propiamente tal: la Matemática consiste en una secuencia finita de argumentos, comenzando en un punto inicial, para luego ir deduciendo, según unas determinadas reglas, proposiciones válidas.
La enseñanza de la Matemática es, por lo tanto, secuencial no solo en la concatenación de los contenidos, sino también en la organización, aprendizaje y enseñanza de los mismos. Enseñar Matemática significa
(i) enseñar a identificar y fijar reglas por medio de las cuales construimos objetos matemáticos, y
(ii) caracterizar las propiedades que satisfacen las secuencias de dichos objetos.
Les proponemos vivenciar esta experiencia con la aritmética por medio de dos desarrollos históricos precisos:
La aritmética pitagórica, desarrollada hacia el siglo V a. C.
El triángulo aritmético de Pascal, publicado en 1654.
Estos dos grandes temas tienen ciertas intersecciones con el currículum nacional de Matemática, pero no están motivados por el mismo. Al contrario, el concepto de recursividad se desarrolló en el contexto de estos temas. Pero antes de comenzar con los contenidos, queremos introducir algunos elementos básicos del intuicionismo o constructivismo matemático, que notarás, subyacen a los contenidos en cuestión.
En este capítulo proporcionaremos el principio general que subyace a las ideas expuestas en este libro, a saber, la actividad que denominamos contar, enfatizando tres consecuencias pedagógicas que surgen de dicho principio: la primera consecuencia, normatividad, enfatiza el hecho de que la aritmética se sustenta en leyes que deben ser seguidas; la segunda consecuencia, principio de inducción, enfatiza el modo de razonamiento que permite establecer la validez de proposiciones aritméticas, y la tercera consecuencia, eticidad, muestra que al enseñar aritmética enseñamos ética, pues enseñamos a actuar bajo normas.
Desde hace unos 10.000 años, la humanidad ha introducido y desarrollado la aritmética contando. Contar significa crear una secuencia de símbolos llamados numerales. Cada uno de nosotros utiliza los numerales en el muy bien conocido procedimiento que llamamos contar objetos. La secuencia más simple de objetos puede construirse usando un único símbolo, digamos |. Así, el procedimiento de contar corresponde a la siguiente secuencia:
|, | |, | | |... (uno, uno-uno, uno-uno-uno...). (1-1)
La introducción de estos numerales es independiente de la existencia de las palabras utilizadas para designarlos en la propia lengua materna. De hecho, si fuésemos a un país donde se hable, por ejemplo, holandés o francés, no entenderíamos las palabras holandesas o francesas para referirnos a la secuencia (1.1). Sin embargo, tanto los que hablamos español, como los que hablan holandés y los que hablan francés, comprenderían que la secuencia (1.1) es una representación del procedimiento que llamamos contar2. Tampoco el uso de esta secuencia de barras | necesita ser considerado como una extensión de la propia lengua. Lo que sí es seguro es que se trata de un nuevo uso de símbolos.
El procedimiento de contar es diferente de la mera introducción de numerales individuales, como por ejemplo | | | o | | | | |. Reconocer la diferencia es fundamental para entender cómo el procedimiento de conteo es la base de la Matemática en el sentido que ella se construye a través de una concatenación normada de determinados objetos.
El uso de los numerales-barras para contar constituye una actividad razonable. ¿Qué queremos decir con esto? Que se trata de una construcción que comienza con un numeral-signo, por ejemplo |, y que luego procede de acuerdo con una regla que establece que a cada cadena de símbolos se le debe concatenar una barra adicional. De forma más específica, la secuencia de numerales (1.1) se obtiene aplicando las siguientes reglas:
(a) Comenzamos por |.
(b) Si hemos llegado a la cadena de símbolos que denotamos por n, entonces obtenemos la secuencia de símbolos n |.
Estas reglas podemos incluso representarlas simbólicamente como sigue:
(1-2)
donde n es una variable para cadenas de símbolos construidos por medio de estas reglas, y ⇒ significa la actividad que hay que realizar3.
La construcción de los cinco primeros numerales-barra se realiza aplicando estas reglas de la siguiente manera:
Los numerales son, por tanto, figuras que se construyen de acuerdo con la regla (1.2). A partir de esta regla de construcción es que las siguientes afirmaciones son verdaderas o válidas:
| es un numeral.
Si n es un numeral, entonces n | es un numeral. (1-3)
Es importante enfatizar la diferencia entre una regla y una afirmación o proposición:
■ una regla no es ni verdadera ni falsa, solo normativa,
■ una afirmación o proposición aritmética es verdadera cuando es construida utilizando la regla prefijada.
Evidentemente, en la práctica no es posible producir una cantidad arbitraria de signos siguiendo esta regla (por ejemplo, representar una secuencia que contenga cien mil millones de barras), pero esto solo se debe a que nuestras vidas son muy cortas, o que el papel que necesitamos para dicha representación es insuficiente, o algún impedimento similar. Es por ello que hoy utilizamos las figuras 1, 2, 3,... para representar las cadenas |, | |, | | |, ..., respectivamente. Estos signos son llamados números naturales. Gracias a las proposiciones (1.3) podemos afirmar lo siguiente sobre los números naturales:
| es un número natural.
Si n es un número natural, entonces n | es un número natural. (1-4)
Estas proposiciones las continuamos escribiendo utilizando el símbolo | porque los signos 1, 2, 3... no son esenciales para entender dos aspectos fundamentales subyacentes a la regla (1.2):
1. La regla (1.2) proporciona una definición constructiva de los números naturales, lo cual evita, por una parte, concebirlos como objetos aislados con especificaciones conceptuales determinadas y, por otra parte, muestra que dichos números se basan en un procedimiento que tiene relaciones explícitas con una actividad concreta.
2. Con la regla (1.2), cualquier cantidad de signos concatenados es teóricamente posible. En otras palabras, podemos afirmar que de acuerdo con esta regla, una cantidad infinita de números es posibles. Toda persona tiene esta intuición básica y, por lo general, la expresa diciendo que todo número natural tiene un sucesor, que sigue siendo un número natural. Esto último significa que el sucesor de un determinado número natural puede a su vez tener un sucesor pues, de acuerdo con la proposición (1.4), sigue siendo un número natural.
Las palabras del matemático constructivista holandés L. E. J. Brouwer (1881-1966) nos servirán para resumir las consideraciones hechas hasta ahora:
“Uno, dos, tres...”, conocemos de memoria la secuencia de estos sonidos como una fila sin fin, es decir, que continúa por siempre de acuerdo a una ley que se sabe es fija.
Al lado de esta secuencia de sonidos-imágenes poseemos otra secuencia que procede de acuerdo a una ley fija, por ejemplo, la secuencia de los signos escritos 1, 2, 3...
Estas cosas son intuitivamente claras.
Esta afirmación está sustentada en la intuición básica de un movimiento en el tiempo que, gracias a la memoria, nos permite acceder a la dualidad:
Este neointuicionismo considera la disociación de los instantes vividos en partes cualitativamente distintas, que no se reúnen sino estando separados por el tiempo, como el fenómeno fundamental del intelecto humano, que, por abstracción de su contenido emocional, constituye el fenómeno fundamental del pensamiento matemático, a saber, la intuición de la dualidad pura.
La experiencia personal de los instantes vividos, que se pueden distinguir gracias al tiempo, es lo que nos permite acceder a la dualidad. La expresión poética de Neruda nos muestra cómo el número, y más fundamentalmente la actividad de contar, nace con la dualidad:
Una mano hizo el número.
Juntó una piedrecita
con otra, un trueno
con un trueno,
un águila caída
con otra águila,
una flecha con otra
y en la paciencia del granito
una mano
hizo dos incisiones, dos heridas,
dos surcos: nació
el número.
Creció el número dos y luego
el cuatro:
fueron saliendo todos
de una mano:
el cinco, el seis,
el siete,
el ocho, nueve, el cero,
como huevos perpetuos
de un ave
dura
como la piedra,
que puso tantos números
sin gastarse, y adentro
del número otro número
y otro adentro del otro,
prolíferos, fecundos,
amargos, antagónicos,
numerando,
creciendo
en las montañas, en los intestinos,
en los jardines, en los subterráneos,
cayendo de los libros,
volando sobre Kansas y Morelia,
cubriéndonos, cegándonos, matándonos
desde las mesas, desde los bolsillos,
los números, los números,
los números.
Terminemos esta sección citando unas palabras atribuidas al matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), que reflejan las ideas expuestas hasta aquí, a saber, que la Matemática como actividad razonable se desarrolla a partir de los números naturales:
Los números naturales los ha hecho el buen Dios, todo lo demás es obra de los hombres.
Aprender aritmética es aprender a construir proposiciones aritméticas válidas a partir de normas que permiten realizar un paralelo perfecto con la secuencia de los números naturales.
Las consideraciones anteriores tienen por objeto fijar un marco general de la enseñanza de la aritmética. Este marco lo podemos describir por medio de al menos tres consecuencias: normatividad, principio de inducción y eticidad. Hay que apropiarse de estas consecuencias, pues las encontrarás repetidas veces en las partes II y III de este libro.
NORMATIVIDAD, PRIMERA CONSECUENCIA: el procedimiento de contar es conocido por todos, especialmente por tus alumnos. Lo importante es que dicha actividad, aunque básica, es una actividad matemática normada por unas reglas que es necesario hacer explícitas. Esto significa que los objetos matemáticos que se tienen a disposición resultan de un procedimiento constructivo normado por reglas determinadas. Así, podemos distinguir al menos tres niveles de aprendizaje matemático:
(a) Representar el procedimiento de contar por medio de signos materiales o no-materiales, como por ejemplo, la secuencia (1.1).
(b) Hacer explícita la regla subyacente a dicha representación de manera que todas las secuencias de signos puedan construirse a partir de ella. El desafío además es representarla en forma simbólica, como se ha ilustrado con la regla (1.2).
(c) Formular la pregunta acerca de qué objetos matemáticos pueden construirse si se cambian las reglas. Dicho de otra manera, se trata en primer lugar de hacer notar que la regla o norma es arbitraria y, por tanto, que puede sustituirse por otra; en segundo lugar, se trata de inculcar la curiosidad por conocer qué propiedades cumplirían los nuevos objetos construidos con las nuevas reglas.
Cuando estudiemos la aritmética pitagórica, o el triángulo aritmético de Pascal, estas consideraciones aparecerán una y otra vez, constituyéndose así en el entramado conceptualcómo se construye la Matemática4