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Differenzialgleichungen für Dummies

Für Dummies 2. Auflage

von: Steven Holzner, Timm Sigg
17,99 €
Verlag:	Wiley-VCH
Format:	EPUB
Veröffentl.:	12.02.2019
ISBN/EAN:	9783527819416
Sprache:	deutsch
Anzahl Seiten:	342

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Beschreibungen

Titelbeschreibung

In diesem Buch lernen Sie, wie Sie mit Differenzialgleichungen aller Schwierigkeitsstufen umgehen: Sie starten mit Differenzialgleichungen erster Ordnung und erfahren, was mit separierbaren Differenzialgleichungen zu tun ist und was exakte Differenzialgleichungen sind. Anschließend begegnen Ihnen lineare homogene und lineare inhomogene Differenzialgleichungen höherer Ordnung. Lernen Sie die Methode der unbestimmten Koeffizienten und die Methode der Parametervariation kennen. Den wirklich schweren Brocken rücken Sie mit Laplace-Transformationen und Reihenlösungen zu Leibe. Und wenn gar nichts mehr geht, bleiben Ihnen ja immer noch die numerischen Lösungen. Sie funktionieren fast immer.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 17 Über dieses Buch 17 Konventionen in diesem Buch 17 Was Sie nicht lesenmüssen 18 Törichte Annahmen über den Leser 18 Wie dieses Buch aufgebaut ist 18 Teil I: Was Sie alles brauchen – die Zutaten 19 Teil II: Es wird spannend – Differenzialgleichungen erster Ordnung 19 Teil III: Differenzialgleichungen höherer Ordnung und fortgeschrittene Techniken 19 Teil IV: Der Top-Ten-Teil 20 Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 20 Wie es weitergeht 20 Teil I Was Sie Alles Brauchen – Die Zutaten 21 Kapitel 1 Differenzieren – die wichtigste Tätigkeit in diesem Buch 23 Was ist denn eine Ableitung? 23 Schreibweisen der ersten Ableitung 25 Schreibweise der höheren Ableitungen 25 Ableitungen der elementaren Funktionen 26 Ableitungsregeln 28 Summen- und Faktorregel 28 Produktregel 28 Quotientenregel 30 Kettenregel 31 Alles zusammen 37 Kapitel 2 Integrieren – genauso wichtig wie das Differenzieren 39 Unbestimmtes Integral 39 Schreibweise mit Schlangenzeichen 42 Bestimmtes Integral 43 Drei Methoden, mit denen Sie (fast) jedes Integral knacken 45 Integration durch Substitution 45 Substitution am bestimmten Integral 46 Substitution am unbestimmten Integral 47 Partielle Integration 48 Partielle Integration – die Vorgehensweise 49 Integralberechnung mittels Partialbruchzerlegung 51 Partialbruchzerlegung – die Vorgehensweise 51 Kapitel 3 Komplexe Zahlen? Ja! Komplexe Sache? Nein! 59 Was sind komplexe Zahlen? 60 Die drei Darstellungen 63 Die kartesische Darstellungmit x und y 63 Die Polardarstellung mit r, 𝜑, Sinus und Kosinus 64 Die exponentielle Darstellung mit r, 𝜑 und der e-Funktion 65 Umrechnung der Darstellungen 65 Umrechnung von (exponentiell beziehungsweise polar) in kartesisch 66 Umrechnung von kartesisch in (exponentiell beziehungsweise polar) 66 Rechnenmit komplexen Zahlen 67 Die konjugiert komplexe Zahl 68 Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 69 Das Multiplizieren komplexer Zahlen 69 Das Dividieren komplexer Zahlen 70 Das Potenzieren komplexer Zahlenmit reellen Potenzen 71 Die n Lösungen der Gleichung zn = w 71 Die zwei Lösungen der Mitternachtsformel 73 Kapitel 4 Matrizen und nicht Matratzen 75 Grundlegendes zu den Matrizen 76 Rechnenmit Matrizen 77 Addieren und Subtrahieren von Matrizen 77 Multiplizieren von Matrizen 77 Determinante 81 Berechnung einer (2 × 2)-Determinante 81 Berechnung einer (3 × 3)-Determinante 82 Sarrus-Regel 82 Berechnung einer (n × n)-Determinante 85 Inverse Matrix 86 Kapitel 5 Eigenwertprobleme sind keine Probleme 89 Was sind Eigenwertprobleme, wenn es keine Probleme sind? 89 Berechnung der Eigenwerte 90 Berechnung von Eigenvektoren 92 Berechnung reeller Eigenvektoren 92 Berechnung komplexer Eigenvektoren 95 Teil II ES Wird Spannend – Differenzialgleichungen Erster Ordnung 97 Kapitel 6 Was sind Differenzialgleichungen? 99 Ableitungen, Steigungen, Krümmungen 100 Ort – Geschwindigkeit – Beschleunigung 102 Differenzialgleichungen – Anfangswertprobleme – Randwertprobleme 109 Unterschied zwischen der allgemeinen Lösung und der Lösung eines Anfangswertproblems 111 Differenzialgleichungssysteme 112 Gekoppelte Differenzialgleichungen 113 Lineare Systeme – Matrizen 114 Kapitel 7 Für jede Differenzialgleichung eine passende Schublade.117 Differenzialgleichungen klassifizieren 117 Gewöhnlich versus partiell 118 Linearität 118 Homogenität 119 Ordnung 120 Beispiele 121 Differenzialgleichungssysteme klassifizieren 122 Kapitel 8 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 125 Grundlagen für die Lösung linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung 126 Das große Ganze mithilfe der Richtungsfelder erkennen 126 Ein Richtungsfeld zeichnen 126 Verbindung von Steigungen zu einer Integralkurve 127 Erkennen des Gleichgewichtswerts 129 Anfangsbedingungen von Anfang an anwenden 129 Und jetzt lösen wir Differenzialgleichungen mit Funktionen 131 Und jetzt nehmen wir ein paar Konstanten dazu 131 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung mithilfe von Integrationsfaktoren lösen 132 Nach einem Integrationsfaktor suchen 132 Mithilfe eines Integrationsfaktors eine Differenzialgleichung lösen 133 Der nächste Schritt: Integrationsfaktoren in Differenzialgleichungen mit Funktionen einsetzen 134 Und jetzt eine ganz besondere Abkürzung! 135 Ein fortgeschrittenes Beispiel lösen 137 Prüfen, ob eine Lösung für eine Differenzialgleichung erster Ordnung existiert 140 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Differenzialgleichungen 140 Die allgemeine Lösung finden 141 Ein paar Beispiele für Existenz und Eindeutigkeit 142 Feststellen, ob es eine Lösung für eine nichtlineare Differenzialgleichung gibt 143 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für nichtlineare Differenzialgleichungen 144 Beispiele für den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für nichtlineare Differenzialgleichungen 144 Kapitel 9 Separierbare Differenzialgleichungen erster Ordnung 147 Die Grundlagen separierbarer Differenzialgleichungen 148 Einfach anfangen: Lineare separierbare Gleichungen 149 Implizite Lösungen 149 Explizite Lösungen aus impliziten Lösungen ableiten 151 Schwer zu knacken: Wann es keine explizite Lösung gibt 154 Trick: Nichtlineare separierbare Gleichungen in lineare separierbare Gleichungen umwandeln 155 Einige separierbare Gleichungen aus der Praxis 157 Ein Flussproblem in den Griff bekommen 157 Eine monetäre Aufgabenstellung 160 Partialbrüche in separierbaren Gleichungen 164 Kapitel 10 Exakte Differenzialgleichungen erster Ordnung und die Euler-Methode 167 Grundlagen exakter Differenzialgleichungen 167 Exakte Differenzialgleichungen definieren 168 Eine typische exakte Differenzialgleichung berechnen 169 Feststellen, ob eine Differenzialgleichung exakt ist 170 Einen praktischen Satz ausprobieren 170 Den Satz anwenden 171 Nicht exakte Differenzialgleichungen mit Integrationsfaktoren bezwingen 173 Einen Integrationsfaktor finden 174 Mithilfe eines Integrationsfaktors eine exakte Gleichung erhalten 176 Der letzte Schliff: Die exakte Gleichung lösen 177 Mit der Euler-Methode numerisch werden 178 Die Methode verstehen 178 Die Genauigkeit der Methode auf einem Computer überprüfen 180 Differenzengleichungen 186 Ein bisschen praktische Terminologie 186 Iterative Lösungen 187 Gleichgewichtslösungen 188 Teil III Differenzialgleichungen Höherer Ordnung Und Fortgeschrittene Techniken.191 Kapitel 11 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 193 Grundlegendes und Wissenswertes 194 Stufe 1: Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung 195 Charakteristisches Polynom 197 Stufe 2: Die partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung 205 Ansatz für y𝑝(x) 206 Bestimmung der Konstanten aus dem Ansatz 211 Beispiele – Beispiele – Beispiele 214 Erstes Beispiel 214 Abschließendes Beispiel der übleren Sorte 216 Gleichungen mit der Methode der Parametervariation lösen 220 Ein typisches Beispiel 221 Die Methode auf beliebige lineare Gleichungen anwenden 223 Die speziellen und allgemeinen Lösungen der inhomogenen Gleichung 224 Ein schönes Paar! Die Parametervariation trifft die Wronski-Determinante 226 Kapitel 12 Es wird ernst: Potenzreihen und reguläre Punkte 229 Grundlagen der Potenzreihen 229 Mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz einer Potenzreihe feststellen 230 Die Grundlagen des Quotientenkriteriums 230 Den Reihenindex verschieben 233 Taylor-Reihen 233 Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mithilfe von Potenzreihen lösen 234 Wenn Sie die Lösung bereits kennen 235 Wenn die Lösung nicht im Voraus bekannt ist 242 Ein berühmtes Problem: Die Airy-Gleichung 245 Kapitel 13 Singuläre Punkte 249 Die Grundlagen singulärer Punkte 249 Singuläre Punkte finden 250 Das Verhalten singulärer Punkte 250 Reguläre und irreguläre singuläre Punkte 251 Erstaunliche Euler-Gleichungen 255 Reelle und unterschiedliche Nullstellen 256 Reelle und gleiche Nullstellen 257 Komplexe Nullstellen 258 Mit einem Satz alles zusammenfassen 260 Reihenlösungen in der Nähe singulärer Punkte bestimmen 260 Die allgemeine Lösung identifizieren 260 Grundlagen für die Lösung von Gleichungen in der Nähe singulärer Punkte 262 Mit den Nullstellen arbeiten 264 Ein numerisches Beispiel für die Lösung einer Gleichung in der Nähe singulärer Punkte 265 Die zweite Nullstelle einsetzen 268 Eine genauere Betrachtung der Kenngleichungen 270 Kapitel 14 Laplace-Transformationen 273 Eine typische Laplace-Transformation genauer betrachten 273 Entscheiden, wann eine Laplace-Transformation konvergiert 274 Grundlegende Laplace-Transformationen berechnen 275 Die Transformation von 1 276 Die Transformation von 𝑒𝑎𝑡 276 Die Transformation von sin(at) 276 Eine praktische Tabelle sorgt für Erleichterung 278 Differenzialgleichungen mithilfe von Laplace-Transformation lösen 279 Einige Sätze bringen Sie auf den Weg 280 Eine homogene Gleichung zweiter Ordnung lösen 281 Eine inhomogene Gleichung zweiter Ordnung lösen 285 Eine Gleichung höherer Ordnung lösen 289 Laplace-Transformationen faktorisieren und Faltungsintegrale 291 Eine Laplace-Transformation in Brüche faktorisieren 292 Faltungsintegrale genauer betrachten 292 Schrittfunktionen beobachten 294 Definition der Schrittfunktion 294 Die Laplace-Transformation der Schrittfunktion ermitteln 295 Kapitel 15 Drei ausfallsichere numerische Methoden 297 Zahlenknackenmit der Euler-Methode 298 Die Grundlagen der Methode 298 Mithilfe von Code die Methode in der Praxis beobachten 299 Die verbesserte Euler-Methode 303 Die Verbesserungen 304 Der neue Code 304 Eine steilere Steigung in den neuen Code einfügen 309 Nochmehr Genauigkeit durch die Runge-Kutta-Methode 313 Die Rekursionsrelation der Methode 313 Mit der Methode im Code arbeiten 314 Kapitel 16 Differenzialgleichungssysteme 319 Die Metamorphose: Verwandlung in ein Differenzialgleichungssystem 320 Beispiel 1 für die sagenhafte Umwandlung 320 Beispiel 2 für die sagenhafte Umwandlung 321 Lösen von linearen homogenen Differenzialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 322 Mit dem richtigen Ansatz zum Ziel finden 324 Beispiel zu reellen und verschiedenen Eigenwerten 326 Beispiel zu reellen und teilweise gleichen Eigenwerten 328 Beispiel zu teilweise konjugiert komplexen Eigenwerten 330 Teil IV Der Top-Ten-Teil 335 Kapitel 17 Zehn Dinge, die Sie über Differenzialgleichungen wissen MÜSSEN 337 Nahe Verwandte 337 Die Erbanlage 337 Tage der Vernunft 337 Eulers Großeltern 337 Ein besonderer Acker 338 Typisch Mathematiker 338 Persönlichkeitsstörung 338 Exotische Vögel 338 Aufgaben der Bäume 338 Unerwartete Gemeinsamkeiten 338 Lösungen 339 Stichwortverzeichnis 341