INDHOLDSFORTEGNELSE

FORORD

Det græske ord mathema betyder videnskab. Så oprindeligt – eller rettere med grækernes indtog som et førende kulturfolk for godt 2500 år siden – var matematikken selve videnskaben. Senere er videnskaben som bekendt blevet delt op i mangfoldige grene; men matematikken er stadig et forbillede og finder anvendelse inden for flere og flere fag og områder.

Det er en næsten selvmodsigende kendsgerning, at netop da matematikken blev den første videnskab og på en måde lukkede sig inde i sig selv, begyndte den en udvikling, som for alvor gjorde den praktisk anvendelig. Grunden til denne matematikkens særlige rolle skal utvivlsomt søges i, at matematikken er opbygget ved hjælp af logisk1 ræsonneren ud fra begreber, som er generelle i den forstand, at forskellige tolkninger er mulige.

Naturligvis kan – og skal – matematikundervisning foregå på mange niveauer, afpasset efter den lærende. Men det forhindrer ikke, at enhver ærlig indføring i matematikken nødvendigvis må lade ræsonneren, sproglig præcisering af benyttede begreber og vendinger, osv. indgå som væsentlige bestanddele – en formidling baseret alene på udenadslære ville dels forråde matematikkens væsen og dels umuliggøre, at man på egen hånd ville kunne anvende den til noget som helst.

At dette også er den danske lovgivningsmagts opfattelse, fremgår med stor tydelighed, først og fremmest af det lovkompleks, som har med alle i vort samfund at gøre, nemlig den til enhver tid gældende folkeskolelov og dennes følgetekster for de forskellige fag. Heri står – før man møder de rent faglige termer – en mængde for det pågældende fag centrale nøglebegreber (min betegnelse). Disse giver en karakteristik af (skole)faget, beskriver fagets væsen. Lad mig for (skole)faget matematiks vedkommende ganske kort og i flæng fremhæve nogle af disse nøglebegreber og -vendinger, som stort set ikke er ændret gennem de sidste mange år:

Erkende matematikkens rolle i kulturel og samfundsmæssig sammenhæng. Dialogens afgørende rolle. Viden, indsigt og kunnen. Erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer. Afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller. Eksperimentere, formulere hypoteser samt følge, udtænke og gennemføre ræsonnementer; begrunde, bevise. Danne, forstå og anvende repræsentationer af matematiske objekter, begreber, situationer og problemer. Forstå og benytte variabler og symboler. Oversætte mellem dagligsprog og matematisk symbolsprog. Undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere. Læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner. Arbejde individuelt og sammen med andre. Fremme kreativitet. Opleve, at matematikken ikke er et isoleret fag; veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser. Tallenes historiske udvikling inddrages.

Heldigvis er matematik – som det fremgår af ovenstående – blevet et fag, hvor sprog, kommunikation, dialog osv. spiller en central rolle. Specielt vil jeg fremhæve, at den lærende igen og igen bør spørge: ”Hvorfor…?” Ganske vist kan man ikke få noget endeligt svar på sine spørgsmål; men det er vigtigt, at den lærende på ethvert trin i sin tilegnelse ofte spørger hvorfor og gennem dialog med læreren (og sig selv og andre) får passende svar. Og det er vigtigt for læreren at undervise på en sådan måde, at eleverne ofte spørger hvorfor og kan få passende "foreløbige" svar.

Indsigt og forståelse er nemlig relative og foreløbige begreber. Man kan måske ind imellem tro, at man har fuld indsigt i eller forståelse af et matematisk emne. Men så dukker der nye spørgsmål eller facetter op, eller man ser det hele ud fra en ny synsvinkel, eller i nye sammenhænge, eller der røres ved, hvor sikkert grundlaget for matematikken egentlig er,… – og så må man søge at etablere en ny (relativ og foreløbig) forståelse.

Med en bog er det desværre umuligt at føre en dialog. Forfatteren svarer så at sige uden at kende læserens spørgsmål eller faglige niveau. Det, som forfatteren skriver et sted, kan derfor ingenlunde altid forventes at besvare læserens spørgsmål – men sådan er vilkårene. Læseren må hele tiden læse med en mængde ufærdige tanker rumlende i baghovedet, forhåbentlig få svar på nogle af sine ubesvarede spørgsmål længere fremme i bogen, ofte bladre tilbage og læse noget allerede læst med fornyet indsigt, snakke med andre, kigge i andre bøger, osv.

Jeg tror, at det for at tilegne sig en hensigtsmæssig og tillidsfuld holdning til matematikken er vigtigt at inddrage passende elementer fra matematikkens historie (kulturhistorie) [hvilket er i overensstemmelse med ovenstående liste af nøglebegreber]. Dels fordi man på den måde får øjnene op for, at matematikken er menneskeskabt og udviklet i nær kontakt med forhåndenværende behov, men først og fremmest fordi en historisk tilgang rummer mangfoldige pædagogiske perspektiver. Dette sidste skal jeg straks uddybe.

Lad os vende os mod det af matematikkens – og skolematematikkens – hovedområder, som de tre bøger i serien TAL OG ALGEBRA med historisk tilgang handler om: Tal og algebra. Det fremmedartede ord algebra stammer fra en arabisk bog fra (ca.) år 825 [jf. Afsnit 51 i Bog 1]; og hvad der gemmer sig bag det, har skiftet gennem tiderne. Gennem århundreder manglede algebraen (som også tidligere kulturfolk beskæftigede sig med, blot naturligvis uden at anvende dette navn) en hensigtsmæssig notation, den måtte dyrkes som såkaldt retorisk algebra [jf. Afsnittene 23 og 66 i Bog 1 samt eksempelvis Afsnit 1 i Bog 2] og betjene sig af geometrisk baserede begrundelser. Først med den såkaldte symbolske algebras [jf. Afsnittene 64 og 66 i Bog 1 samt "resten af bøgerne", eksempelvis Afsnit 1 i Bog 2] fremkomst omkring år 1600 påbegyndtes den udvikling, som har gjort algebraen til et i sig selv hvilende uhyre effektivt hjælpemiddel. Det er tankevækkende, at algebraen – i modsætning til geometrien – var så længe om at blive voksen.

Med dette in mente er det ikke så forbavsende, at det stadig falder vanskeligt for langt de fleste at tilegne sig en hensigtsmæssig, nutidig indsigt i algebraen (dvs. i den symbolske algebra) – selv for de klogeste hoveder tog det jo århundreder at afdække algebraens væsen. Den pædagogiske konsekvens heraf må være, at der ved indføring i algebraen bør fokuseres meget på den fundamentale forskel mellem retorisk og symbolsk algebra, og på at formidle indsigt i den symbolske algebras væsen.

Elementer fra tallenes og algebraens lange og snørklede vej er emnet for Bog 1: Elementer fra tallenes og algebraens historie. Hvor jeg skønner det hensigtsmæssigt, gør jeg dog ind imellem forholdsvis kort rede for, hvorledes en nutidig behandling af det betragtede emne kan udformes. Sådanne kommentarer vil muligvis først være af interesse for dig i forbindelse med læsning af Bog 2: Tal og algebra, hvor der gives en omhyggelig nutidig indføring i tal og algebra.

Som allerede nævnt tror jeg imidlertid, at det er vigtigt for forståelsen af – og påskønnelsen af – den nutidige algebra at se den i kontrast til tidligere tiders. Ud over henvisninger til Bog 1 inddrager jeg derfor stadig eksempler hentet fra historien for bedre at kunne belyse forskelle mellem retorisk og symbolsk algebra, samt de mange fordele ved nutidens algebraiske arbejdsog erkendelsesformer. I Bog 2 forsøger jeg med andre ord at belyse tallenes og algebraens væsen, og for mig at se er det helt centrale i den forbindelse at fokusere på hensigtsmæssige omskrivninger.

I Bog 2 bygges helt og holdent på læserens intuitive talopfattelse; eksempelvis gøres der altså intet for at præcisere, hvad et reelt tal "egentlig er for noget". En nærmere diskussion af den slags er henlagt til Bog 3: Talområder, deres historie og konstruktion. Her belyses, hvorledes det er muligt på en matematisk tilfredsstillende måde dels at indfange nogle af de naturlige tals fundamentale egenskaber, og dels på den baggrund at forklare om (med et fint ord konstruere) de hele tal, de rationale tal, de reelle tal og de komplekse tal samt de såkaldte kvaternioner og Cayley-tal.

Det var et i matematikerkredse efterhånden udbredt ønske om – ja, faktisk uomgængelige krav om – at de forskellige typer af tal og deres egenskaber blev beskrevet på en måde, som var matematikken værdig. For hvordan i alverden kunne man bevise "dybsindige" sætninger om fx reelle tal uden at vide, hvad et reelt tal er? Dette ønske/krav, samt erkendelsen af, at det kunne være hensigtsmæssigt at studere "tallignende strukturer" [jf. Kapitlerne H, J, K og M i Bog 2], var drivkræften bag fremkomsten af den såkaldte moderne eller abstrakte algebra. I denne studeres på aksiomatisk grundlag fundamentale generelle strukturer som gruppe, ring, integritetsområde, ordnet integritetsområde, legeme, ordnet legeme, vektorrum, osv. Den slags videregående algebra er imidlertid ikke emnet for denne bogserie.

Som det fremgår af det allerede sagte, står det mig klart, at det er umuligt at ramme et for alle læsere passende niveau i bogens forskellige afsnit. Men det er mit håb, at en læser ved at arbejde med alle tre bøger vil have mulighed for at erkende, at matematik kan – og nødvendigvis må – behandles på forskellige niveauer. – Med Euklids ord til kong Ptolemaios (ifølge legenden): Der er ingen kongevej til matematikken (mening: Matematik er svært!). På ethvert niveau mener jeg dog, at det er muligt både at befordre en studerendes tilegnelse af matematikken og at være tro mod matematikkens væsen ved i sin formidling at lægge vægt på "den sunde fornuft".

Ved udarbejdelsen af bøgerne har jeg haft en læser i tankerne, som ønsker en omhyggelig indføring i tal og algebra. Bl.a. håber jeg, at bøgerne vil finde anvendelse ved uddannelsen af lærere til folkeskolen og andre uddannelser, hvor forståelse og indsigt er fuldt så vigtig som færdighed og rutine – specielt ved efteruddannelsen af folkeskolelærere og andre.

Til slut en varm tak til min ven og kollega gennem mange år på Danmarks Lærerhøjskole, professor Allan C. Malmberg, for grundig gennemlæsning og opmuntrende kommentarer.

Gunnar Bomann

Espergærde 2013

 

1 Det græske ord logos har mange betydninger; blandt disse er ord, tanke, lov, fornuft, tal og kvotient.

A INDLEDNING

1 Hvad kan vi lære af historien?

I Bog 1 har jeg beskrevet nogle for mig at se vigtige elementer fra tallenes og algebraens historie. Herunder har jeg især lagt vægt på at fremhæve det, jeg mener vil være nyttigt med henblik på at tilegne sig en tidssvarende indsigt i tallenes og algebraens væsen. Der er således nok tale om en fremstilling af det historiske forløb, men bestandig med den bagtanke, at det egentlige mål er – her i Bog 2 – at kunne udnytte de tanker og overvejelser, den historiske udvikling giver anledning til.

Bog 2 kan derfor betragtes som bogseriens centrale del. Men det er min overbevisning, at med Bog 1 som baggrund bliver det muligt for en læser – i langt højere grad end det ville være ved en "tidløs" fremstilling af stoffet i Bog 2 – at se tingene i et hensigtsmæssigt perspektiv. Ved at kende til den historiske udvikling og nogle af de problemer, man har skullet overvinde, vil du efter min mening have betydeligt bedre muligheder for at sætte dig ind i – og påskønne – den nuværende måde at fremstille stoffet på, dvs. ved hjælp af den symbolske algebra.

Først og fremmest finder jeg det tankevækkende, at historien meget tydeligt viser, hvor vanskeligt det har været for menneskene at nå frem til den symbolske algebra – hvor længe man var henvist til at benytte retorisk algebra og geometriske ræsonnementer, før det endelig lykkedes at gøre algebraen til et virkelig effektivt redskab. Alene ud fra den kendsgerning må man formode, at det næppe falder let for ret mange at tilegne sig den symbolske algebra. Der må derfor i starten sættes mange kræfter ind på at belyse den symbolske algebras væsen, bl.a. ved at fremhæve den fundamentale forskel mellem retorisk og symbolsk algebra.

Lad os repetere lidt fra Bog 1. Menneskene begyndte naturligvis med den form for algebra, der kaldes retorisk. Det centrale i denne er forbindelsen mellem matematik og sprog; man ræsonnerer via sprogets indbyggede logik på forestillinger om det, man taler om. Og ganske vist kan man skrive sine tankegange ned for at fastholde det, man har indset; men det karakteristiske er, at man netop kun kan nedskrive det, man allerede har indset. "Det egentlige", dvs. tankevirksomheden, sker altså før den eventuelle nedskrivning, som kun tjener til at fastholde "det egentlige". [Se eventuelt en eksemplificering af forskellen mellem retorisk og symbolsk algebra i Bog 1, Afsnit 46.]

I den symbolske algebra sker tankevirksomheden derimod i forbindelse med det nedskrevne. Symbolerne er her ikke noget stationært, som blot fastholder det, man har indset. Nej, de indgår sammen med tankevirksomheden i en dynamisk proces. Symbolerne er centrale for tankevirksomheden, og "det egentlige" sker ved, at de udsættes for algebraiske omskrivninger. Omskrivningerne finder sted under udnyttelse af visse regneregler, og tankevirksomheden – som sagtens kan være inspireret af geometriske eller andre forestillinger – er i den symbolske algebra koncentreret om at finde på hensigtsmæssige omskrivninger.

Det kræver stor indsigt og meget træning at kunne foretage hensigtsmæssige omskrivninger. Sagt firkantet skal man eksempelvis ikke altid tankeløst gange en parentes ud; det er muligvis helt andre omskrivninger, der fører frem til målet. Selv om ræsonnementer så at sige sættes på skinner ved hjælp af symboler og regneregler, er det altså vigtigt at tænke sig om. Uden en hensigt med omskrivningerne er der som oftest tale om tomgang.

Det er hensigtsmæssige omskrivninger ved anvendelse af regneregler, som efter min opfattelse er det centrale i den nutidige algebra. Hertil kommer, at man ofte indledningsvis må algebraisere [hvorved jeg mener oversætte et forelagt problem til den symbolske algebras sprog] samt afslutningsvis tolke/fortolke resultatet af foretagne omskrivninger. Disse aspekter udgør derfor det bagved liggende tema for hele Bog 2; og stoffet er udvalgt med henblik på bedst muligt at belyse disse aspekter.

2 Om fremlæggelsen af stoffet

Lad mig slå fast med det samme, at stoffet er så sammenhængende og kompliceret, at det næppe er muligt – og i hvert fald ikke hensigtsmæssigt – at give en fremstilling, hvor et emne gøres færdigt, før det næste tages op. Jeg tror, det er nødvendigt at hoppe ind et sted og arbejde sig ud derfra i flere retninger – langs spiraler, der vender tilbage. Eksempelvis er det godt nok vigtigt, at du kan følge de mange ræsonnementer; men det vil være aldeles uhensigtsmæssigt af den grund at starte med et langt afsnit om logik. Ligeledes vil det være aldeles uhensigtsmæssigt at insistere på at begynde med en præcisering af de forskellige typer af tal. Tingene må komme lidt efter lidt. Det helt centrale – mener jeg – er at få indsigt i algebraiske omskrivninger, herunder at gøre sig klart, hvad man ønsker at opnå ved den enkelte omskrivning. Kun på den måde vil man efterhånden kunne foretage hensigtsmæssige omskrivninger på egen hånd. Lad os holde os dette sigte for øje!

Jeg forestiller mig, at du vil have mange spørgsmål undervejs. Jeg vil forsøge på stedet at besvare nogle af disse tænkte spørgsmål på en måde, som jeg skønner vil være passende her og nu. Andet vil jeg udskyde kommenteringen af – ellers vil den røde tråd forsvinde i kaos. Af samme grund – dvs. for ikke at tabe tråden – vil jeg anbringe mange af mine svar (samt meget andet) i små kantede parenteser. Og du skal også vide, at mine svar langt fra kan betragtes som udtømmende, samt at der er mange niveauer at tale om et emne på – ja, faktisk findes der selv inden for matematikken ikke noget endeligt niveau.

Af og til vil jeg samle lidt op; men det egentlige opsamlingsarbejde må du selv klare. Hvis man vil sætte sig godt ind i en bog – og ikke mindst en matematikbog – kan man ikke nøjes med at læse den fra den ene ende til den anden. Man må gøre sig mange tanker og stille en mængde spørgsmål undervejs, og det vil ofte være nødvendigt at bladre tilbage i bogen og genlæse gammelt stof med nye øjne. Lejlighedsvis vil det måske også være en god idé at bladre frem i bogen og læse lidt. I den forbindelse vil jeg henlede din opmærksomhed på de mange henvisninger samt det omfangsrige stikordsregister.

Jeg vil også benytte lejligheden til at fremhæve så stærkt jeg kan, at man altid bør læse matematik med papir og blyant ved hånden. Det fremmer dels ens forståelse og tilegnelse af stoffet, og tjener dels til, at man bliver opmærksom på noget væsentligt, som man ellers let ville komme til at læse hen over. I det hele taget bør man læse aktivt, herunder meget gerne forsøge at være foran forfatteren. Og det er vigtigt, at man løser – i det mindste forsøger at løse – så mange opgaver som muligt.

B REGNEREGLER

Hensigten med dette kapitel er at belyse, at alle de mange regneregler for tal – herunder nogle mystiske [jf. Afsnit 7] – kan bevises ud fra nogle få "indlysende sande" grundlæggende regneregler [med tal menes her i Bog 2 – med mindre andet udtrykkeligt fremhæves – altid reelle tal].

For at tilegne sig algebraens væsen, altså den symbolske algebras væsen, mener jeg, at det er væsentligt at erkende denne sammenhæng mellem regnereglerne samt at opnå rutine i at udnytte regnereglerne – såvel grundlæggende som afledte – til at foretage hensigtsmæssige omskrivninger. Derimod er det ingenlunde nødvendigt at huske begrundelser for denne eller hin afledte regneregel i detaljer; flere af disse begrundelser er i øvrigt temmelig spidsfindige. Du opfatter måske stoffet i dette afsnit som unødigt kedeligt og vanskeligt, måske endda ret så overflødigt; men bekæmp denne følelse og arbejd dig igennem, i det mindste så langt, at du klart erkender den omtalte sammenhæng.

3 De grundlæggende regneregler

Her i Bog 2 vil vi betragte følgende som indlysende sandt: Til to vilkårlige tal a og b knyttes ved addition netop ét tal; dette omtales som summen af a og b og noteres a + b. Ligeledes knyttes til to vilkårlige tal a og b ved multiplikation netop ét tal; dette omtales som produktet af a og b og noteres a·b eller blot ab [foreløbig vil vi dog notere multiplikationstegnet/gangeprikken]. For addition og multiplikation gælder nedenstående grundlæggende regneregler:

(a + b) + c = a + (b + c) Kaldes den associative lov for addition; det latinske ad sociare betyder forene. Man kan altså "forene addenderne, som man har lyst".
(a·bc = a·(b·c) Kaldes den associative lov for multiplikation. Man kan altså "forene faktorerne, som man har lyst."
a + b = b + a Kaldes den kommutative lov for addition; det latinske ord commutare betyder ombytte. Man kan altså "ombytte addenderne, som man har lyst".
a·b = b·a Kaldes den kommutative lov for multiplikation. Man kan altså "ombytte faktorerne, som man har lyst".
a + 0 = a Mere præcist: Der findes netop ét tal 0 (nul), sådan at det for ethvert tal a gælder, at a + 0 = a; 0 siges at være neutralt ved addition. Lad os kalde denne regneregel for loven om nul.
1 · a = a Mere præcist: Det findes netop ét tal 1 (én), sådan at det for ethvert tal a gælder, at a·1 = a; 1 siges at være neutralt ved multiplikation. Lad os kalde denne regneregel for loven om én.
Ligningen a + x = 0 har netop én løsning Mere præcist: For ethvert tal a findes netop ét tal x, sådan at a + x = 0; denne løsning betegnes -a og kaldes det modsatte tal til a. Lad os kalde denne regneregel for loven om modsat tal.
For a ≠ 0 har ligningen a · x = 1 netop én løsning. Mere præcist: For ethvert fra 0 forskelligt tal a findes netop ét tal x, sådan at a·x = 1; denne løsning betegnes 1/a og kaldes det reciprokke2 eller inverse3 tal til a. Lad os kalde denne regneregel for loven om reciprokt tal.
a·(b + c) = a·b + a·c
og
(b + ca = b·a + c·a
[fx skal a·b + a·c forstås som (a·b) + (a·c); man ønsker at benytte så få parenteser som muligt]
Kaldes de distributive love for multiplikation over addition; det latinske ord distribuere betyder sprede. Man kan altså "sprede et produkt i addender ved at gange ud". Det er imidlertid vigtigt også at "tolke fra højre mod venstre": Man kan "samle til et produkt ved at sætte en fælles faktor uden for parentes".

Bemærkning: I Bog 3 vil vi se nærmere på grundlaget – eller rettere: et grundlag – for den slags. I kraft af, at de reelle tals addition og multiplikation tilfredsstiller ovenstående regneregler, taler man om det reelle tallegeme.

Du synes måske, at eksempelvis den associative lov for addition er forvirrende – hvad er det egentlig, den fortæller? Jo, pr. definition af addition kan man kun addere to tal ad gangen [jf. eventuelt Bog 3, Afsnit 5]. Ved hjælp af parenteserne i den associative lov udtrykkes følgende: Hvis man [som ligningens venstre side udtrykker] først adderer a og b, og dernæst til den fremkomne sum a + b adderer c, så fås samme resultat, som hvis man [som ligningens højre side udtrykker] først adderer b og c, og dernæst adderer a og den fremkomne sum b + c.

Den kommutative og den associative lov for addition sikrer tilsammen, at man i en flerleddet sum kan "ombytte og forene" addenderne, som man har lyst – og derfor kan mange parenteser spares. Tilsvarende gælder for et flerleddet produkt, hvor altså faktorerne kan "anbringes og ganges sammen" i ønsket rækkefølge.

I forbindelse med loven om reciprokt tal kan fremhæves følgende: Man kan ikke gøre sig håb om at finde en løsning til ligningen 0·x = 1, hvis man vel at mærke ønsker de øvrige regneregler opfyldt – og det gør man! Disse øvrige regneregler medfører nemlig, at der for vilkårlige tal a og b gælder [ved de to første lighedstegn anvendes loven om nul, og ved det sidste lighedstegn den (ene) distributive lov]:

a·b + 0 = a·b = a·(b + 0) = a·b + a·0.   (1)

Da det første og sidste udtryk i (1) er ens [fastlægger samme tal], slutter vi ved at addere det modsatte tal til tallet a·b [jf. loven om modsat tal], at a 0 = 0 [udførligt altså, at a·b + 0 = a·b + a·0 medfører, at -(a·b) + (a·b + 0) = -(a·b) + (a·b + a·0), og videre ved hjælp af associativ lov for addition, at (−(a·b) + a·b) + 0 = (−(a·b) + a·b) + a·0, dvs. at 0 + 0 = 0 + a·0, og sluttelig ved anvendelse af loven om nul, at 0 = a·0]. Lad os fremhæve, at der altså for ethvert tal a gælder [jf. den kommutative lov for multiplikation]:

a·0 = 0·a = 0.   (2)

At jeg har kaldt overskriften til dette afsnit for de grundlæggende regneregler, skyldes som nævnt, at alle øvrige regneregler vedrørende addition og multiplikation – samt vedrørende subtraktion og division, der kan defineres ud fra de grundlæggende regneregler [dette vender vi allerede tilbage til i Afsnit 6] – kan udledes af disse. Dette vil blive belyst i den resterende del af dette kapitel.

4 Lidt om potensskrivemåde og potensregneregler

For ethvert tal a gælder, at a + a = 2·a [udførligt fordi a + a ifølge loven om én er lig med 1·a + 1·a; og dette udtryk kan vi i kraft af den ene distributive lov omskrive til (1 + 1)·a, og 1 + 1 = 2 (pr. navngivningsvedtægt)]. Videre gælder, at a + a + a = 3·a [hvor vi i kraft af den associative lov for addition ikke behøver at sætte parenteser], a+a+a+a = 4·a, osv. Som oftest skriver vi kort 2a i stedet for 2·a, 3a i stedet for 3·a, osv.

I fortsættelse af ovenstående korte notation for gentagen addition af samme tal benytter man for et produkt som eksempelvis a·a·a·a [hvor vi i kraft af den associative lov for multiplikation ikke behøver at sætte parenteser] den korte potensskrivemåde a4. I kraft af de grundlæggende regneregler gælder for vilkårlige tal a og b eksempelvis, at

a4·a7 = a4+7 (= a11)

(a4)7 = a4·7 (= a28)

(a·b)4 = a4·b4.

Begrundelse: Den associative lov for multiplikation sikrer, at man i et produkt med flere end to faktorer kan sætte parenteser, som man vil [underforstået: resultatet bliver det samme]. Derfor gælder, at

a4·a7 = (a·a·a·a)·(a·a·a·a a·a·a) = a·a·a·a·a·a·a·a·a·a·a = a4+7,

(a4)7 = (a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)

      = a4·7,

samt – denne gang ved gentagen brug af såvel den associative som den kommutative lov for multiplikation, at [vi ombytter og forener faktorerne som vi har lyst]

(a·b)4 = (a·b)·(a·b)·(a·b)·(a·b) = (a·a·a·a)·(b·b·b·b) = a4·b4.

Tilsvarende gælder helt generelt for vilkårlige naturlige tal m og n følgende potensregneregler:

am·an = am+n   (3)

(am)n = am·n   (4)

(a·b)n = an·bn.   (5)

Vi vil i det følgende, men kun i forbindelse med eksempler og opgaver, tillade os at benytte (3), (4) og (5) uden yderligere begrundelse [vedr. beviser for disse potensregneregler se Bog 3, Afsnit 11]. For øvrigt må m og/eller n ovenfor gerne være 0; man definerer nemlig a0 som 1, altså:

a0 = 1.   (6)

5 Begrebet ubekendt

I Bog 1 blev det nævnt, at ægypterne allerede for op mod 4000 år siden benyttede regula falsi [jf. Bog 1, Afsnit 13; babylonierne gjorde det også]; dvs. man prøvede først med et "falsk tal" [det vil blot sige et tal, som måske/måske ikke var løsning til det betragtede problem] og ud fra det resultat, man fik på den måde, korrigerede man efterfølgende det falske tal til en løsning.

Det blev også omtalt, at denne fremgangsmåde var en forløber for senere tiders indførelse af et symbol for det, vi kalder den ubekendte: I stedet for at prøve med et "falsk tal" benytter man (eksempelvis) bogstavet x som betegnelse for "et eller andet tal" og forsøger efterfølgende at regne ud [ved anvendelse af regnereglerne!], hvilket tal x må stå for; man forsøger altså ved hjælp af en analyse [jf. Bog 1, Afsnit 65] at finde frem til nødvendige betingelser for x, dvs. betingelser, som x nødvendigvis må opfylde.

Eksempel 1

I Bog 1, Afsnit 14 så vi, hvordan Ahmes ved hjælp af regula falsi løste opgaven:

En størrelse og en fjerdedel af den er i alt 15; find størrelsen.   (7)

Her vil vi betragte en besvarelse af denne opgave ved hjælp af den symbolske algebra. Lad os betegne den søgte størrelse med bogstavet x. En fjerdedel af størrelsen er så 1/4·x [for at slippe for at skrive flere parenteser end højst nødvendigt vedtager vi, at (eksempelvis) 1/4·x skal betyde (1/4)·x, og ikke 1/(4·x); der er intet problem, når vi noterer brøker med tæller lodret over nævner; men her er notationen lidt ”farlig”]; og opgaveteksten fortæller, at x tilfredsstiller ligningen [dvs. gør ligningen sand]:

Det var algebraiseringen, altså oversættelse til den symbolske algebras sprog. Herefter udnytter vi så regnereglerne: Da x jo er det samme som 1·x [jf. loven om én], kan vi omskrive (8) til

[Her benyttede vi bl.a. den ene distributive lov til at sætte x uden for parentes; vi benyttede loven i specialtilfældet a = 1, b = 1/4 og c = x.]

Vi isolerer nu x på venstresiden af (9) ved at multiplicere ligningen igennem med 4/5, altså med det reciprokke tal til 5/4 [jf. loven om reciprokt tal]. Herved omskrives (9) til

[Her har vi bl.a. benyttet den associative lov for multiplikation. Detaljeret sagt har vi udnyttet, at 4/5·(5/4·x) = (4/5·5/4)·x = 1·x = x.]

Hermed har vi bevist, at hvis tallet x tilfredsstiller ligningen (8), x nødvendigvis tilfredsstille ligningen (10); dvs. den eneste "løsningskandidat" til (8) er tallet 12. Og en let kontrol viser, at tallet 12 tilfredsstiller (8); 12 er altså løsning – og den eneste løsning – til opgaven.

I Eksempel 1 ovenfor illustreredes en fundamental algebraisk fremgangmåde/metode: Efter at have oversat den stillede opgave til en ligning med en ubekendt x [altså algebraiseret opgaven] forsøgte vi at isolere x ved at udnytte regneregler, som gælder for alle tal. Sagt med andre ord forsøgte vi at omskrive den første ligning til en så simpel ligning, at man af den straks kan se, hvilket tal den ubekendte x nødvendigvis må være.

Lad os illustrere metoden igen i forbindelse med bestemmelsen af Diophants alder [jf. Opgave 1F20].

Eksempel 2

Vi kalder Diophants alder [i antal år] for x. Opgaveteksten oplyser så, at hans barndom varede 1/6·x år, at hans ungdom varede 1/12·x år, og at han var ungkarl i yderligere 1/7·x år [hvorefter han altså giftede sig]. Efter yderligere 5 år fik han en søn, som døde 4 år før sin fader. Sønnen var ved sin død 1/2·x år. Alt i alt slutter vi, at x må tilfredsstille følgende ligning [hvor det takket være den associative lov for addition ikke er nødvendigt at angive (ved hjælp af parenteser), i hvilken rækkefølge additionerne skal foregå]:

[Efter de 5 års ægteskab levede Diophant jo 1/2·x år samtidig med sønnen, og derpå yderligere 4 år, før han døde.] Det var algebraiseringen. Så følger omskrivninger ved udnyttelse af regnereglerne: For at slippe af med brøktallene ganger vi (11) igennem med det mindste fælles multiplum for nævnerne 6, 12, 7 og 2; det ses at være 84 [hvis ligningens venstre side er lig med ligningens højre side, så må jo også 84 gange venstre side være lig med 84 gange højre side]. Vi slutter altså [bl.a. ved hjælp af den ene distributive lov], at x må tilfredsstille ligningen:

14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x.   (12)

Ved at bytte rundt på venstre sides addender og sætte uden for parentes omskriver vi (12) til

75x + 756 = 84x.   (13)

[Hertil benytter vi den kommutative lov til at ombytte addenderne 420 og 42x, samt den associative lov for addition og den (ene) distributive lov).]

Dernæst subtraherer vi 75x fra begge sider af lighedstegnet i (13) og konkluderer [sagt bedre på nuværende tidspunkt (vi har jo endnu ikke har indført subtraktion): vi skriver 84x som 75x + 9x (distributiv lov) og adderer efterfølgende det modsatte tal til 75x på begge sider af lighedstegnet], at x må tilfredsstille ligningen

756 = 9x.   (14)

Endelig dividerer vi (14) igennem med 9 [sagt bedre på nuværende tidspunkt (vi har jo endnu ikke har indført division): vi multiplicerer med det reciprokke tal 1/9 til 9 på begge sider af lighedstegnet] og finder [idet vi også ombytter venstre og højre side]:

x = 84.   (15)

Og (15) er jo så simpel, at vi straks kan aflæse, at 84 er eneste løsningskandidat. Efter denne analyse [jf. Bog 1, Afsnit 65] kontrollerer vi (syntese), at 84 virkelig er løsning, altså stemmer med alle de oprindelige data i opgaven.

Ovenfor har jeg [i kantede parenteser] henledt opmærksomheden på de (fleste af de) grundlæggende regneregler, vi benyttede. Du opfordres til i starten at gøre det samme, samt til at benytte én regneregel ad gangen [sådan som jeg fx gør det i starten af Afsnit 8] – og først ophøre med dette [og altså gå over til at udføre flere operationer på én gang], når du føler dig helt sikker på at kunne gå detaljeret frem, hvis nogen bad dig om det. Du bør også ofte – især her i begyndelsen – tolke [altså så at sige oversætte til retorisk algebra], hvad ligninger [og senere også uligheder] "siger"; eksempelvis siger (13) ovenfor, at 75 gange Diophants alder plus 756 er det samme tal som 84 gange Diophants alder.

6 Definition af subtraktion og division

I dette afsnit skal vi se, hvordan vi i kraft af de grundlæggende regneregler kan indføre subtraktion og division – mere præcist: Definere subtraktion og division. I kraft af de grundlæggende regneregler gælder følgende:

Sætning 1

Ligningen a + x = b har for alle tal a og b netop én løsning x.

Bevis: Først en analyse: Hvis a + x = b, så gælder også, at (−a) + (a + x) = (−a) + b, og dermed, at ((−a) + a) + x = b + (−a), og altså, at x = 0 + x = b + (−a); hermed har vi godtgjort, at b + (−a) er den eneste løsningskandidat.

Og så syntese [gøren prøve]: Indsættelse af b + (−a) for x i den oprindelige ligning i Sætning 1 giver: a + (b + (−a)) = a + ((−a) + b) = (a + (−a)) + b = 0 + b = b; dvs. b + (−a) er løsning til ligningen a + x = b. Hermed er påstanden bevist.

Den entydigt bestemte løsning b + (−a) til ligningen a + x = b betegnes også

ba   (16)

Som det fremgår, har vi hermed indført subtraktion; vi har jo for to vilkårlige tal a og b defineret ba. Ligningen a + x = b kaldes derfor ofte subtraktionsligningen; pr. definition er dens entydigt bestemte løsning tallet ba [som er det samme tal som b + (−a)]. Lad os slå fast, at der altså gælder:

ba = b + (−a).   (17)

Læg mærke til, at de to minusstreger i (17) har forskellig længde. Det har jeg valgt, fordi der jo faktisk er tale om to "helt forskellige" ting: Den lange minusstreg i (17) står for subtraktion, den korte minusstreg blev indført til at betegne dannelse af modsat tal. Man omtaler ofte den korte minusstreg i (17) som et fortegn. Mange lommeregnere har i øvrigt en tast for skift af fortegn, og denne tast må ikke forveksles med subtraktionstasten.

Bemærkning: Det er vigtigt at gøre sig klart, at fortegnet - [læses: minus] ikke "signalerer", at man har med et negativt tal at gøre. Symbolet -a står som nævnt i de grundlæggende regneregler for det modsatte tal til tallet a; og tallet -a er henholdsvis negativt, nul og positivt, eftersom tallet a er positivt, nul og negativt.

Fx angiver -(−3) det modsatte tal til -3, dvs. -(−3) er det positive tal 3. Symbolet/navnet -3 kan efter behag opfattes sådan, at den korte minusstreg står som fortegn for (symbolet/navnet) 3, eller sådan, at hele symbolet står for tallet -3, og at dette er angivet uden fortegn (eller som man ofte siger "med fortegnet plus"); og i fortsættelse af den sidstnævnte opfattelse kan symbolet/navnet -(−3) tolkes sådan, at den første korte minusstreg står som fortegn (et minus) for symbolet/navnet (−3) [hvor sidstnævnte symbol/navn står for det samme som symbolet/navnet -3]. Formodentlig har al denne snak om fortegn gjort dig forvirret. Mit råd er: Lad være med at tale mere om fortegn end højst nødvendigt! Som vi skal se nedenfor, kan det endda helt undgås.

Det kan i mange forbindelser (eksempelvis ovenstående) være nødvendigt at gøre sig klart, om der i en givet situation er tale om et symbol/navn, eller [hvad der som oftest er tilfældet] om det, symbolet er navn for. Hvad mener du fx om udsagnene "København er Danmarks hovedstad" og "Der er 9 bogstaver i København"?.

Specielt giver (17) for b = 0, at

0 − a = 0 + (−a) = -a.   (18)

(18) fortæller, at indførelsen af subtraktion er sket på en sådan måde, at dannelse af modsat tal [til a] kan opfattes som specialtilfælde af subtraktion, nemlig som subtraktion af a fra 0. [Hvis man havde valgt betegnelsen 0-a for det modsatte tal til a (hvilket ville være helt analogt til den valgte betegnelse 1/a for det reciprokke tal til et fra 0 forskelligt tal a), så ville (18) lyde: 0 − a = 0-a (som er analog med (22) nedenfor); og så ville det være helt tydeligt, at den korte minusstreg kan undværes. Heldigvis er det alligevel sådan, at man ikke behøver at spekulere på, hvad det er for et minustegn, man skal bruge i en givet situation; og man benytter derfor sædvanligvis samme symbol til at betegne de to helt forskellige ting. For tydelighedens skyld vil jeg dog benytte det "korrekte" tegn et stykke tid endnu.]

For b = a giver (17) [samt loven om modsat tal], at

aa = a + (−a) = 0.   (19)

Ganske analogt med Sætning 1 bevises ved hjælp af de grundlæggende regneregler [jf. Opgave 2B11], at der gælder følgende:

Sætning 2

For alle fra 0 forskellige tal a og for alle tal b har ligningen a·x = b netop én løsning, nemlig b·1/a.

Denne entydigt bestemte løsning betegnes også

b: a.   (20)

Som det fremgår, har vi hermed indført division; vi har jo for to vilkårlige tal a (≠ 0) og b defineret b:a. Ligningen a·x = b kaldes derfor ofte divisionsligningen; pr. definition er dens entydigt bestemte løsning tallet b:a [som er det samme tal som b·1/a]. Lad os slå fast, at der altså gælder:

b: a = b·1/a.   (21)

Specielt gælder for b = 1, at

1:a = 1·1/a = 1/a.   (22)

(22) fortæller, at indførelsen af division er sket på en sådan måde, at dannelse af reciprokt tal [til et fra 0 forskelligt tal a] kan opfattes som specialtilfælde af division, nemlig som division af 1 med a. Der er derfor ingen grund til – sådan som jeg har gjort det ovenfor – at benytte forskellige symboler for division og dannelse af reciprokt tal. Fremover vil vi – i stedet for b:a – sædvanligvis skrive

Det ses, at vi i kraft af (22) ikke behøver at bekymre os om, hvad b/a betyder i det tilfælde, hvor b = 1; for 1 divideret med a er jo det samme som det reciprokke tal til a.

For b = a giver (21) [samt loven om reciprokt tal], at

a: a = a·1/a = 1.   (24)

Bemærkning: Divisionsligningen 0·x = b har for b = 0 ethvert tal som løsning (jf. (2)), og for b ≠ 0 ingen løsning (jf. igen (2)). Derfor kan man ikke dividere med 0; vi vil tage dette udførligt op i Bog 3, Afsnit 36.

7 Minus minus giver plus, osv.

Mange går rundt og husker på adskillige regneregler såsom "minus minus giver plus" [eventuelt "forklaret" ved, at "en fjendes fjende er din ven", eller på en anden matematisk set fuldstændig uacceptabel måde], "minus gange minus giver plus", "man dividerer med en brøk ved at multiplicere med den omvendte", osv. Hvorfor sådanne regneregler gælder, er tit hyllet i mystikkens slør – de opfattes vist af de fleste som "sådan er det bare"-regler, og er derved medvirkende til, at mange opgiver at forstå matematikken. Årsagen til denne uheldige omstændighed er allerede omtalt i Bog 1, Afsnit 67: Regning med negative tal får egentlig først mening i forbindelse med den symbolske algebra.

Imidlertid kan også sådanne regneregler vises at være konsekvenser af de i rammen i Afsnit 3 nævnte grundlæggende regneregler – og disse regneregler er der forhåbentlig intet mystisk ved?!

Men vi er vel enige om, at formuleringer som "minus minus giver plus" ikke i sig selv er begrundelser, og at de ingen indsigt giver?

I dette afsnit vil vi omhyggeligt bevise mystiske regneregler som de ovennævnte.

Lad os først se på regnereglen, som siger, at "minus minus giver plus"? Hvad menes der egentlig med det? Ja, der er faktisk to muligheder. Enten tænkes på, at det for ethvert tal a gælder, at

-(−a) = a   (25)

[altså at det modsatte tal til -a er lig med a] eller på, at det for alle tal a og b gælder, at

a − (−b) = a + b   (26)

[altså at det modsatte tal til b subtraheret fra a er lig med summen af a og b]. Og disse to udsagn er begge sande [henholdsvis for alle tal a, og for alle tal a og b]. Gyldigheden af (25) følger af, at på den ene side betegnes det modsatte tal til -a jo pr. vedtægt -(−a); og på den anden side er a det tal, som adderet til -a giver 0, så derfor er a også det modsatte tal til -a. Altså gælder (25).

(26) kan bevises sådan: Vi har ud fra de grundlæggende regneregler bevist, at enhver subtraktionsligning har netop én løsning [Afsnit 6, Sætning 1]. Vi ved derfor pr. definition af subtraktion, at a – (−b) er løsningen til ligningen (−b) + x = a. For at have bevist, at a – (−b) = a + b behøver vi derfor blot at sikre, at (også) a + b er løsning til (−b) + x = a. Vi gør prøve:

(−b) + (a + b) = (−b) + (b + a) = ((−b) + b) + a = 0 + a = a;

altså er a + b lige som a – (−b) løsning til (−b) + x = a; og da denne ligning har netop én løsning, så gælder (26).

Ganske analogt med (26) gælder – og bevises [jf. Opgave 2B18] – for b ≠ 0, at

En anden huskeregel: "minus gange minus giver plus" fortæller – men begrunder jo på ingen måde – at

(−a)·(−b) = a·b.   (28)

Her er et bevis: Vi starter med at bevise et par andre nyttige resultater. Af

a·c + a·(bc) =   [distributiv lov]

a·(c + (bc)) =   [definition af subtraktion]

a·b

fremgår, at a·(bc) er løsning til ligningen a·c + x = a·b; og da løsningen til denne ligning pr. definition af subtraktion er a·ba·c, har vi dermed bevist, at der gælder

a·(bc) = a·ba·c.   (29)

Specielt finder vi ved at sætte b = 0 i (29), at

a·(−c) =   [ifølge (18)]

a·(0 − c) =   [ifølge (29)]

a·0 − a·c =   [ifølge (2)]

0 − a·c =   [ifølge (18)]

-(a·c).

Lad os fremhæve dette resultat. For alle tal a og b gælder som netop vist [vi har udskiftet c med b], at

a·(−b) = -(a·b).   (30)

Herefter finder vi:

(−a)·(−b) =   [ifølge (30)]

-((−ab) =   [kommutativ lov]

-(b·(−a)) =   [ifølge (30)]

-(−(b·a)) =   [ifølge (25)]

b·a =   [kommutativ lov]

a·b.

Hermed er (28) bevist.

Vi vil dernæst bevise, at der gælder [for b og d forskellige fra 0]:

Bevis: Pr. definition er a/b løsningen til b·x = a; lad os nu tænke på x som denne løsning – og altså ikke som en ubekendt. Og c/d er løsningen til d·y = c; lad os nu tænke på y som denne løsning – og altså ikke som en ubekendt. Ved multiplikation finder vi, at [vi benytter associativ og kommutativ lov for multiplikation]

a·c = (b·x)·(d·y) = (b·d)·(x·y),

hvoraf vi ser, at x·y er løsningen til ligningen (b·dz = a·c; og denne løsning er jo [pr. navngivningsvedtægt!] netop højresiden i (31). Hermed er (31) bevist.

Og så til påstanden om, at "man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte". Faktisk formulerer og beviser vi noget langt mere generelt; thi påstanden refererer egentlig til, at a, b, c og d er hele tal [en kvotient a/b, hvor a og b ikke begge er hele tal, kaldes nemlig ikke en brøk]. Vi vil altså bevise, at det [for alle reelle tal a, b, c og d med b, c og d forskellige fra 0] gælder, at

Bevis: Pr. definition af division er venstresiden i (32) løsningen til ligningen

Vi behøver derfor blot at sikre os, at højresiden i (32) (også) er løsning til (33). At dette er tilfældet fremgår af følgende udregning:

Hermed er påstanden bevist.

8 Kvadratet på en toleddet størrelse m.m.

Vi vil her (på ny) illustrere, at der skal benyttes adskillige regneregler selv i forbindelse med en simpel udregning, hvis man kun udfører ét skridt ad gangen. Vi vil udregne kvadratet på en toleddet størrelse, dvs. vise, at der for alle tal a og b gælder:

(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2.   (34)

Vi finder:

(a + b)2 =   [pr. definition af potensskrivemåden]

(a + b)·(a + b) =   [distributiv lov]

(a + ba + (a + bb =   [distributiv lov anvendes to gange]

(a·a + b·a) + (a·b + b·b) =   [kommutativ lov for multiplikation]

(a·a + a·b) + (a·b + b·b) =   [associativ lov for addition]

((a·a + a·b) + a·b) + b·b =   [associativ lov for addition]

(a·a + (a·b + a·b)) + b·b =   [distributiv lov]

(a·a + ((a + ab) + b·b =   [lov om én]

(a·a + ((1·a + 1·ab) + b·b =   [distributiv lov]

(a·a + ((1+1)·ab) + b·b =   [vi benytter, at 1+1 = 2]

(a·a + (2·ab) + b·b =   [associativ lov for multiplikation]

(a·a + 2·a·b) + b·b =   [associativ lov for addition]

a·a + 2·a·b + b·b =   [pr. definition af potensskrivemåden]

a2 + 2·a·b + b2.

Ved at anvende (34) finder vi nu hurtigt, at der for alle tal a og b gælder:

(ab)2 =   [ifølge definitionen af subtraktion]

(a + (−b))2 =   [ifølge (34)]

a2 + 2·(−b) + (−b)2 =   [ifølge (30), (17) og (28)]

a2 − 2·a·b + b2.

Endvidere gælder for alle tal a, b og c:

(a + b)·(ab) =   [ifølge definitionen af subtraktion]

(a + b)·(a + (−b)) =   [distributiv lov]

(a + ba + (a + b)·(−b) =   [distributiv lov]

a2 + b·a + a·(−b) + b·(−b) =   [ifølge (30), kommutativ lov, lov om modsat tal, lov om nul, (30) og (17)]

a2b2.

Lad os fremhæve de tre ovenfor beviste regneregler/formler/identiteter [idet vi her og fremover som oftest vil undlade at skrive multiplikationstegn].

Sætning 3

For alle tal a, b og c gælder:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,   (35)

(ab)2 = a2 − 2ab + b2,   (36)

(a + b)·(ab) = a2b2.    (37)

Disse regneregler kan meget ofte anvendes til hensigtsmæssige omskrivninger, tit benyttet "fra højre mod venstre". Eksempelvis i følgende situation: Af a2 = b2 sluttes, at a2b2 = 0 og derfor ifølge (37) også, at (ab)(a + b) = 0, og da et produkt kun er 0, hvis en af faktorerne er 0 [jf. Sætning 4 nedenfor], så må det gælde, enten at ab = 0, eller at a + b = 0, dvs. at a = b eller at a = -b. [Dette skriver man i øvrigt ofte kort a = ± b, der læses som: "a er lig med plus eller minus b" eller endnu kortere som: "a er lig med plus minus b". Når man bruger sådanne sjuskede skrive- og læsemåder, er det naturligvis vigtigt at kende den korrekte betydning, som altså er: "a er lig med b, eller a er lig med minus -b".]

Sætning 4

For vilkårlige tal a og b gælder, at hvis ab = 0, så er mindst et af tallene a og b lig med 0 [denne regneregel kaldes nulreglen].

Bevis: Vi går ud fra, at ab = 0. Hvis nu a = 0, så er der intet at bevise; så vi kan forudsætte, at a ≠ 0. Ifølge loven om reciprokt tal har a så et reciprokt tal 1/a, og vi finder [jf. (2) samt grundlæggende regneregler]:

dvs. b må i denne situation være 0. Hermed er påstanden bevist.

 

2 Det latinske ord reciprocus betyder strømme tilbage, dvs. gensidig.

3 Det latinske ord inversus betyder omvendt.

Opgaver til 2B REGNEREGLER

I forbindelse med – i hvert fald – Opgaverne 2B5–2B11 nedenfor er det meningen, at du kun foretager én omskrivning ad gangen, samt retfærdiggør omskrivningen ved henvisning til den benyttede grundlæggende regneregel.