© 2014 Gunnar Bomann

Illustrationer: Bogens tegninger er udført af Gunnar Bomann.

Øvrigt billedmateriale er hentet på internettet, hovedsageligt fra Wikipedia. Såfremt andre mener, at deres ophavsret er blevet krænket, bedes de henvende sig til Gunnar Bomann via forlaget.

Forlag: Books on Demand GmbH, København, Danmark

Tryk: Books on Demand GmbH, Norderstedt, Tyskland

ISBN 978-87-7145-403-1

FORORD

Det græske ord mathema betyder videnskab. Så oprindeligt – eller rettere med grækernes indtog som et førende kulturfolk for godt 2500 år siden – var matematikken selve videnskaben. Senere er videnskaben som bekendt blevet delt op i mangfoldige grene; men matematikken er stadig et forbillede og finder anvendelse inden for flere og flere fag og områder.

Det er en næsten selvmodsigende kendsgerning, at netop da matematikken blev den første videnskab og på en måde lukkede sig inde i sig selv, begyndte den en udvikling, som for alvor gjorde den praktisk anvendelig. Grunden til denne matematikkens særlige rolle skal utvivlsomt søges i, at matematikken er opbygget ved hjælp af logisk1 ræsonneren ud fra begreber, som er generelle i den forstand, at forskellige tolkninger er mulige.

Naturligvis kan – og skal – matematikundervisning foregå på mange niveauer, afpasset efter den lærende. Men det forhindrer ikke, at enhver ærlig indføring i matematikken nødvendigvis må lade ræsonneren, sproglig præcisering af benyttede begreber og vendinger, osv. indgå som væsentlige bestanddele – en formidling baseret alene på udenadslære ville dels forråde matematikkens væsen og dels umuliggøre, at man på egen hånd ville kunne anvende den til noget som helst.

At dette også er den danske lovgivningsmagts opfattelse, fremgår med stor tydelighed, først og fremmest af det lovkompleks, som har med alle i vort samfund at gøre, nemlig den til enhver tid gældende folkeskolelov og dennes følgetekster for de forskellige fag. Heri står – før man møder de rent faglige termer – en mængde for det pågældende fag centrale nøglebegreber (min betegnelse). Disse giver en karakteristik af (skole)faget, beskriver fagets væsen. Lad mig for (skole)faget matematiks vedkommende ganske kort og i flæng fremhæve nogle af disse nøglebegreber og -vendinger, som stort set ikke er ændret gennem de sidste mange år:

Erkende matematikkens rolle i kulturel og samfundsmæssig sammenhæng. Dialogens afgørende rolle. Viden, indsigt og kunnen. Erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer. Afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller. Eksperimentere, formulere hypoteser samt følge, udtænke og gennemføre ræsonnementer; begrunde, bevise. Danne, forstå og anvende repræsentationer af matematiske objekter, begreber, situationer og problemer. Forstå og benytte variabler og symboler. Oversætte mellem dagligsprog og matematisk symbolsprog. Undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere. Læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner. Arbejde individuelt og sammen med andre. Fremme kreativitet. Opleve, at matematikken ikke er et isoleret fag; veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser. Tallenes historiske udvikling inddrages.

Heldigvis er matematik – som det fremgår af ovenstående – blevet et fag, hvor sprog, kommunikation, dialog osv. spiller en central rolle. Specielt vil jeg fremhæve, at den lærende igen og igen bør spørge: ”Hvorfor…?” Ganske vist kan man ikke få noget endeligt svar på sine spørgsmål; men det er vigtigt, at den lærende på ethvert trin i sin tilegnelse ofte spørger hvorfor og gennem dialog med læreren (og sig selv og andre) får passende svar. Og det er vigtigt for læreren at undervise på en sådan måde, at eleverne ofte spørger hvorfor og kan få passende "foreløbige" svar.

Indsigt og forståelse er nemlig relative og foreløbige begreber. Man kan måske ind imellem tro, at man har fuld indsigt i eller forståelse af et matematisk emne. Men så dukker der nye spørgsmål eller facetter op, eller man ser det hele ud fra en ny synsvinkel, eller i nye sammenhænge, eller der røres ved, hvor sikkert grundlaget for matematikken egentlig er, … – og så må man søge at etablere en ny (relativ og foreløbig) forståelse.

Med en bog er det desværre umuligt at føre en dialog. Forfatteren svarer så at sige uden at kende læserens spørgsmål eller faglige niveau. Det, som forfatteren skriver et sted, kan derfor ingenlunde altid forventes at besvare læserens spørgsmål – men sådan er vilkårene. Læseren må hele tiden læse med en mængde ufærdige tanker rumlende i baghovedet, forhåbentlig få svar på nogle af sine ubesvarede spørgsmål længere fremme i bogen, ofte bladre tilbage og læse noget allerede læst med fornyet indsigt, snakke med andre, kigge i andre bøger, osv.

Jeg tror, at det for at tilegne sig en hensigtsmæssig og tillidsfuld holdning til matematikken er vigtigt at inddrage passende elementer fra matematikkens historie (kulturhistorie) [hvilket er i overensstemmelse med ovenstående liste af nøglebegreber]. Dels fordi man på den måde får øjnene op for, at matematikken er menneskeskabt og udviklet i nær kontakt med forhåndenværende behov, men først og fremmest fordi en historisk tilgang rummer mangfoldige pædagogiske perspektiver. Dette sidste skal jeg straks uddybe.

Lad os vende os mod det af matematikkens – og skolematematikkens – hovedområder, som de tre bøger i serien TAL OG ALGEBRA – med historisk tilgang handler om: Tal og algebra. Det fremmedartede ord algebra stammer fra en arabisk bog fra (ca.) år 825 [jf. Afsnit 51 i Bog 1]; og hvad der gemmer sig bag det, har skiftet gennem tiderne. Gennem århundreder manglede algebraen (som også tidligere kulturfolk beskæftigede sig med, blot naturligvis uden at anvende dette navn) en hensigtsmæssig notation, den måtte dyrkes som såkaldt retorisk algebra [jf. Afsnittene 23 og 66 i Bog 1 samt eksempelvis Afsnit 1 i Bog 2] og betjene sig af geometrisk baserede begrundelser. Først med den såkaldte symbolske algebras [jf. Afsnittene 64 og 66 i Bog 1 samt "resten af bøgerne", eksempelvis Afsnit 1 i Bog 2] fremkomst omkring år 1600 påbegyndtes den udvikling, som har gjort algebraen til et i sig selv hvilende uhyre effektivt hjælpemiddel. Det er tankevækkende, at algebraen – i modsætning til geometrien – var så længe om at blive voksen.

Med dette in mente er det ikke så forbavsende, at det stadig falder vanskeligt for langt de fleste at tilegne sig en hensigtsmæssig, nutidig indsigt i algebraen (dvs. i den symbolske algebra) – selv for de klogeste hoveder tog det jo århundreder at afdække algebraens væsen. Den pædagogiske konsekvens heraf må være, at der ved indføring i algebraen bør fokuseres meget på den fundamentale forskel mellem retorisk og symbolsk algebra, og på at formidle indsigt i den symbolske algebras væsen.

Elementer fra tallenes og algebraens lange og snørklede vej er emnet for Bog 1: Elementer fra tallenes og algebraens historie. Hvor jeg skønner det hensigtsmæssigt, gør jeg dog ind imellem forholdsvis kort rede for, hvorledes en nutidig behandling af det betragtede emne kan udformes. Sådanne kommentarer vil muligvis først være af interesse for dig i forbindelse med læsning af Bog 2: Tal og algebra, hvor der gives en omhyggelig nutidig indføring i tal og algebra.

Som allerede nævnt tror jeg imidlertid, at det er vigtigt for forståelsen af – og påskønnelsen af – den nutidige algebra at se den i kontrast til tidligere tiders. Ud over henvisninger til Bog 1 inddrager jeg derfor stadig eksempler hentet fra historien for bedre at kunne belyse forskelle mellem retorisk og symbolsk algebra, samt de mange fordele ved nutidens algebraiske arbejdsog erkendelsesformer. I Bog 2 forsøger jeg med andre ord at belyse tallenes og algebraens væsen, og for mig at se er det helt centrale i den forbindelse at fokusere på hensigtsmæssige omskrivninger.

I Bog 2 bygges helt og holdent på læserens intuitive talopfattelse; eksempelvis gøres der altså intet for at præcisere, hvad et reelt tal "egentlig er for noget". En nærmere diskussion af den slags er henlagt til Bog 3: Talområder, deres historie og konstruktion. Her belyses, hvorledes det er muligt på en matematisk tilfredsstillende måde dels at indfange nogle af de naturlige tals fundamentale egenskaber, og dels på den baggrund at forklare om (med et fint ord konstruere) de hele tal, de rationale tal, de reelle tal og de komplekse tal samt de såkaldte kvaternioner og Cayley-tal.

Det var et i matematikerkredse efterhånden udbredt ønske om – ja, faktisk uomgængelige krav om – at de forskellige typer af tal og deres egenskaber blev beskrevet på en måde, som var matematikken værdig. For hvordan i alverden kunne man bevise "dybsindige" sætninger om fx reelle tal uden at vide, hvad et reelt tal er? Dette ønske/krav, samt erkendelsen af, at det kunne være hensigtsmæssigt at studere "tallignende strukturer" [jf. Kapitlerne H, J, K og M i Bog 2], var drivkræften bag fremkomsten af den såkaldte moderne eller abstrakte algebra. I denne studeres på aksiomatisk grundlag fundamentale generelle strukturer som gruppe, ring, integritetsområde, ordnet integritetsområde, legeme, ordnet legeme, vektorrum, osv. Den slags videregående algebra er imidlertid ikke emnet for denne bogserie.

Som det fremgår af det allerede sagte, står det mig klart, at det er umuligt at ramme et for alle læsere passende niveau i bogens forskellige afsnit. Men det er mit håb, at en læser ved at arbejde med alle tre bøger vil have mulighed for at erkende, at matematik kan – og nødvendigvis må – behandles på forskellige niveauer. – Med Euklids ord til kong Ptolemaios (ifølge legenden): Der er ingen kongevej til matematikken (mening: Matematik er svært!). På ethvert niveau mener jeg dog, at det er muligt både at befordre en studerendes tilegnelse af matematikken og at være tro mod matematikkens væsen ved i sin formidling at lægge vægt på "den sunde fornuft".

Ved udarbejdelsen af bøgerne har jeg haft en læser i tankerne, som ønsker en omhyggelig indføring i tal og algebra. Bl.a. håber jeg, at bøgerne vil finde anvendelse ved uddannelsen af lærere til folkeskolen og andre uddannelser, hvor forståelse og indsigt er fuldt så vigtig som færdighed og rutine – samt ved efteruddannelsen af folkeskolelærere og andre.

Til slut en varm tak til min ven og kollega gennem mange år på Danmarks Lærerhøjskole, professor Allan C. Malmberg, for grundig gennemlæsning og opmuntrende kommentarer.

Gunnar Bomann

Espergærde 2013

1 Det græske ord logos har mange betydninger; blandt disse er ord, tanke, lov, fornuft, tal og kvotient.

INDHOLDSFORTEGNELSE

A INDLEDNING

1 Ønsket om at opbygge talområderne aksiomatisk

Som vi så i Bog 1, har tallene fra tidernes morgen udgjort en integreret og uundværlig del af menneskets kulturelle udvikling. Her i Bog 3 skal vi se nærmere på forskellige typer af tal: Naturlige tal, hele tal, rationale tal, reelle tal og komplekse tal [samt omtale de såkaldte kvaternioner og Cayley-tal].

Vi har i Bog 1 set, at der omkring år 1600 begyndte at ske afgørende ting for algebraens vedkommende med fremkomsten af den symbolske algebra. I det hele taget begyndte der at ske mangt og meget på matematikkens område i 1600-tallet, ikke mindst muliggjort af algebraens fremskridt kombineret med den lettere adgang til at få udbredt kendskabet til nye tanker via bogtrykkerkunsten. Eksempelvis spirede et helt nyt område, sandsynlighedsregning, frem omkring århundredets midte. De mest banebrydende fremskridt skete dog inden for den såkaldte infinitesimalregning i kraft af englænderen Isaac Newtons [jf. omtalen af Newton i Afsnit 37] og tyskeren Gottfried Wilhelm Leibniz' arbejder [jf. omtalen af Leibniz i Afsnit 37].

På Newtons og Leibniz' tid betragtedes matematikken som en hjælpedisciplin for især astronomi og fysik – samt som forretningsmatematik og i øvrigt som et interessant tidsfordriv. Det betød bl.a., at man lagde den afgørende vægt på en matematisk sætnings anvendelsesværdi: Hvis sætningen gav [praktisk set] korrekte resultater ved anvendelse inden for eksempelvis astronomi, så var det "berettigelse" nok. Først omkring 100 år senere – i tiden efter Den Franske Revolution – begyndte man for alvor at opfatte matematikken som vigtig i sig selv [igen! – de gamle grækere havde jo tidligere gjort det]. Denne "selvstændighed" betød bl.a., at det ikke længere forekom rimeligt at lade "naturen være dommer" med hensyn til gyldigheden af matematiske sætninger. Sådanne måtte begrundes inden for matematikken selv, dvs. udelukkende ved logisk argumentation.

Af disse grunde opstod efterhånden et behov for at opbygge hele matematikken som et logisk sammenhængende hele, herunder krav om større klarhed og præcision med hensyn til matematikkens grundlag og bevismetoder, samt ønske om bedre midler til opnåelse af overblik over og sammenhæng i matematikkens mangfoldighed.

Sådanne krav og ønsker måtte naturligvis ikke mindst angå matematikkens helt centrale område, tallene. Vi skal i det følgende se, hvorledes krav og ønsker blev opfyldt for tallenes vedkommende. Vi vil belyse en opbygning, hvor vi udgår fra et såkaldt aksiomsystem2 for de naturlige tal og successivt konstruerer de hele tal, de rationale tal, de reelle tal og de komplekse tal [samt kvaternionerne og Cayley-tallene].

Hensigten er imidlertid ikke at gennemføre en sådan successiv konstruktion/opbygning af talområderne i detaljer, men blot at belyse – forhåbentlig overbevisende – hvordan dette kan gøres. Fremstillingen forudsætter, at læseren har et vist kendskab til logik og mængdelære.

2 Tidsoversigt

Lad os indlede med en tankevækkende oversigt over, hvornår der på tryk forelå matematisk tilfredsstillende udformninger for de forskellige talområders vedkommende.

De naturlige tal 1887 J. W. Richard Dedekind
  1889 Giuseppe Peano
De hele tal 1895 Heinrich Weber
De rationale tal 1895 Heinrich Weber
De reelle tal 1872 Karl T. H. Weierstrass
    Richard Dedekind
    Georg Cantor
    H. Charles R. Méray
    Heinrich E. Heine
De komplekse tal 1833 William Rowan Hamilton

Man kan straks se, at der må være noget galt. For hvordan kunne eksempelvis de reelle tal finde en afklaring, før de rationale tal var fuldt belyst? Oversigten skal da også forstås på den måde, at de reelle tal blev tilfredsstillende konstrueret ud fra de rationale tal i 1872 [ja, faktisk tidligere, jf. omtalen af Weierstrass i Afsnit 40]. Og hermed menes, at hvis de rationale tal [og dermed specielt de naturlige tal og de hele tal] havde været "klarlagt" i 1872, havde man også haft en fyldestgørende afklaring af de reelle tal – og for øvrigt også, som det fremgår af oversigten, af de komplekse tal.

Alligevel virker tidsangivelserne formodentlig besynderlige. Hvordan kan det dog gå til, at de komplekse tal kunne afklares først? Og dernæst de yderst komplicerede reelle tal?

3 Et svar på de i Afsnit 2 rejste spørgsmål

Ovenstående spørgsmål kan kort besvares sådan: Ønsket om at forstå de reelle tals natur er næsten lige så gammelt som matematikken selv; og op gennem tiden har man til stadighed gjort sig tanker herom [jf. Bog 1, specielt Kapitel F GRÆKERNE, samt (her i Bog 3) Kapitel F DE REELLE TAL]. Endvidere så vi i Bog 1, Afsnit 63, at Cardano i forbindelse med løsning af tredjegradsligninger begyndte at sysle med nogle gådefulde imaginære tal – som der "i en eller anden forstand" syntes at være fornuft i til trods for, at kvadratet på et sådant tal er mindre end 0. Der var derfor også behov for at få undersøgt muligheden for en logisk afklaring af sådanne tal. At så de komplekse tal blev beskrevet/konstrueret tilfredsstillende ud fra de reelle tal længe før en afklaring af de reelle tal på basis af de rationale tal fandt sted, skyldes, at der er tale om konstruktioner af vidt forskellig sværhedsgrad.

For øvrigt gav – som vi tidligere har set – også selv negative hele tal anledning til vanskeligheder. Men mens man havde svært ved at forestille sig, hvad et reelt tal "egentlig" er – et sådant tal har jo "noget uendeligt over sig" – så var problemet med de negative tal i 1800-tallet af en noget anden karakter. Som vi har set i Bog 1, havde man for længst lært at regne med dem [måske først kineserne, i hvert fald mht. hurtighed]; og man nåede efterhånden frem til en hensigtsmæssig måde at anskue dem på [jf. Bog 1, Afsnit 67]. Problemet var derfor nærmest af filosofisk karakter: Bør sådanne størrelser overhovedet opfattes som tal? Faktisk er der altså tale om en definitionssag! Og det er værd at lægge mærke til – og bestemt ikke tilfældigt – at vægtskålen først for alvor tippede til fordel for at opfatte negative størrelser som tal i forbindelse med den symbolske algebras sejrsgang. Det er nemlig først i forbindelse med, at fokus lægges på, at regneoperationer altid kan udføres [bortset fra division med 0], at behovet for at opfatte "negative størrelser" som tal bliver et uomgængeligt krav.

At de naturlige, de hele og de rationale tal overhovedet blev opbygget systematisk, skal derfor ikke så meget ses på baggrund af et behov for bedre forståelse, men derimod ud fra det ovenfor nævnte ønske om at give matematikken et solidt grundlag, samt at fremstille matematikken som et logisk sammenhængende hele. Og hen imod slutningen af 1800-tallet mente man bedst at kunne tilgodese dette ønske ved at [forsøge at] give en helt igennem aksiomatisk opbygning [med forbillede i Euklids aksiomatiske opbygning af geometrien].

Helt fra [før] Euklids dage omkring år 300 f.Kr. var man klar over, at man ikke kan starte helt fra bar bund. Visse begreber og visse sammenhænge mellem disse må forudsættes at stå til rådighed, ellers "definerer og beviser man i ring". Sådanne til grund liggende begreber gør man altså ikke noget forsøg på at forklare eller definere, selv om man naturligvis har en intuitiv forståelse/opfattelse af dem. De kaldes derfor også udefinerede begreber [eller primitive begreber]. Tilsvarende gør man intet forsøg på at bevise de til grund liggende sammenhænge mellem de udefinerede begreber, selv om man naturligvis har en intuitiv forståelse af disse sammenhænge; der er altså netop tale om ønsker til de udefinerede begreber. Disse ønsker kaldes derfor – som en anerkendelse af, at det jo var grækerne, der gjorde matematikken til en videnskab – for aksiomer.

Bemærkning: Tidligere opfattede man eksempelvis Euklids aksiomer som selvindlysende sandheder. I vore dage er indgangsvinklen skiftet til at opfatte et aksiomsystem snarere som en samling ønsker, eller omhyggeligere formuleret: Man afstår fra at forklare, hvad eksempelvis punkter og linjer er – og dermed naturligvis også fra at begrunde, at de tilfredsstiller Euklids aksiomer. Enhver sætning i den Euklidiske geometri er egentlig eftersætning i en implikation af form: Hvis de udefinerede begreber [punkter og linjer] tilfredsstiller alle aksiomerne, gælder også … [den pågældende sætning].

Men når man nu ikke kan tillægge aksiomer og sætninger nogen "selvstændig" sandhedsværdi, er en aksiomatisk teori så andet end et luftkastel? Her er vi ved kernen i det hele. Netop for en sådan "ubehæftet" teori [uden indbygget modstrid] kan man fortolke eller interpretere de udefinerede begreber efter forgodtbefindende. Tænk fx på, at vi har mødt flere strukturer, som opfylder de grundlæggende regneregler for addition: De reelle tal, vektorer, restklasser modulo et naturligt tal og polynomier. Og vi har noteret os, at hver gang vi møder en sådan struktur, kan vi med præcis samme argumentation bevise en række konsekvenser. Ethvert resultat, som er logisk udledt alene ud fra de grundlæggende regneregler for addition, gælder altså for enhver struktur, som opfylder disse regneregler. Det er netop styrken i en aksiomatisk teori – i en sådan kan man virkelig sige, at en sætning bliver bevist én gang for alle: Hver gang man ved en fortolkning af de udefinerede begreber kommer i en situation, hvor alle aksiomerne er opfyldt [har at gøre med en model af teorien], så er enhver af teoriens sætninger "selvstændigt" sand.

2 Ordet aksiom er græsk og betyder selvindlysende sandhed eller ønske; jf. det følgende, specielt Afsnit 3.

B DE NATURLIGE TAL

I dette kapitel påbegynder vi den omtalte aksiomatiske opbygning/konstruktion af særligt vigtige talområder. I Afsnit 4 opstilles nogle [i hvert fald tilsyneladende] meget beskedne krav til de naturlige tal; og på den baggrund belyses, hvorledes [mange af] de egenskaber, vi forbinder med disse tal, kan bevises.

Det vanskeligst gennemskuelige af de grundlæggende krav til de naturlige tal er det såkaldte induktionsaksiom, som nødvendigvis må spille en central rolle i beviserne. Jeg giver nogle grundige beviser i forbindelse med begyndelsen af konstruktionen – og lader så det være godt. Dybere indsigt i det fundamentale induktionsaksiom mener jeg nemlig bedre at kunne formidle uden for den egentlige opbygning af talsystemerne; dette er emnet for Kapitel C Matematisk induktion. Måske vil det være en god idé, at du beskæftiger dig med dette kapitel, før du for alvor studerer nærværende kapitel.

4 Peanos aksiomsystem

De naturlige tal kan fastlægges ved hjælp af nedenstående aksiomsystem, som er opkaldt efter italieneren Giuseppe Peano [se omtalen nedenfor], men næsten lige så godt kunne være opkaldt efter tyskeren Richard Dedekind [jf. omtalen i Afsnit 41], som anførte et næsten identisk aksiomsystem i sin berømte lille bog Was sind und was sollen die Zahlen. Her er Peanos aksiomsystem.

De udefinerede begreber udgøres af en mængde N, hvis elementer kaldes naturlige tal, samt af en afbildning E af N ind i N, kaldt efterfølgerfunktionen; elementerne i billedmængden E(N) kaldes efterfølgere. Aksiomerne er:

  1. (1) E er en injektiv [dvs. enentydig] funktion.
  2. (2) Ikke alle elementer i N er efterfølgere; dvs. E(N) er en ægte delmængde af N.
  3. (3) Lad M være en vilkårlig delmængde af N, som dels indeholder en ikke-efterfølger, og dels med et vilkårligt naturligt tal også indeholder dettes efterfølger. Det gælder da, at M er hele N.

Gennem (1) og (2) sikres specielt, at N er en uendelig mængde; thi E er jo en bijektion af N på en ægte delmængde af N, hvilket pr. definition af begrebet uendelig mængde betyder, at N er uendelig [jf. definitionen under omtalen af Dedekind i Afsnit 41].

(3) er det såkaldte induktionsaksiom. Det fortæller [sammen med (2)], at der er netop ét naturligt tal, som ikke er en efterfølger [begrundelse "om et øjeblik"]; dette naturlige tal vil vi betegne 1. Endvidere sikrer (3), at N "ikke er større end højst nødvendigt"; (3) fortæller nemlig, at en delmængde af N, der indeholder 1 samt efterfølgeren for 1 [som vi naturligvis betegner 2], samt efterfølgeren for 2 [som vi naturligvis betegner 3], samt efterfølgeren for 3 [som vi naturligvis betegner 4], osv., udgør hele N. Og så den lovede begrundelse: Lad 1 være en vilkårlig ikke-efterfølger. Så er, som netop indset, alle øvrige elementer i N efterfølgere; altså er 1 den eneste ikke-efterfølger.

Giuseppe Peano, italiensk, 1858-1932 søgte i Formulaire de mathematiques fra 1894 (og frem) sammen med sine medforfattere at udvikle et formaliseret sprog, der ikke blot skulle rumme den matematiske logik, men alle matematikkens vigtigste grene.

Herved blev han en af forløberne for en matematisk skole, logistikken, hvis hovedværk er Principia mathematica (1910-1913), skrevet af de to englændere Bertrand Russell (1872-1970) og Alfred North Whitehead (1861-1947).

5 Addition, multiplikation og mindre end i N

Aksiomsystemet i Afsnit 4 afspejler således velkendte egenskaber ved de naturlige tal, dvs. egenskaber som vi ønsker, at de naturlige tal har. Og det kan bevises – hvilket naturligvis er væsentligt – at det endda rummer de naturlige tals væsen [sådan som vi føler, det bør være] i en sådan grad, at enhver ønskelig egenskab er en logisk følge af aksiomsystemet. Heri er specielt indeholdt, at det er muligt at indføre kompositioner + [addition] og · [multiplikation] samt en ordningsrelation < [mindre end] sådan, at alle de velkendte regneregler for naturlige tal gælder.

Vi vil illustrere påvisningen heraf ved at "gå et stykke af vejen". Vi indleder definitionen af addition beskedent med addition af 1: For et vilkårligt naturligt tal n defineres n + 1 som efterfølgeren for n, dvs. som E(n); altså:

Definition: n + 1 = E(n).

(4)

Vi kalder som allerede nævnt E(1), altså 1 + 1, for 2; og E(2), altså 2 + 1, for 3; og E(3), altså 3 + 1, for 4; osv.

I fortsættelse af (4) kan n + 2, dvs. n + E(1), defineres som efterfølgeren for n + 1, altså som E(n + 1); og dernæst n + 3, dvs. n + E(2), defineres som efterfølgeren for n + 2, altså som E(n + 2); osv. Generelt:

Definition: Hvis n + k er defineret, så definerer vi n + (k + 1) som E(n + k), altså som (n + k) + 1.

(5)

Sætning 1

Gennem (4) og (5) er sikret, at n + m er defineret for alle naturlige tal n og m; dvs. addition er en komposition i N.

Bevis [hvor induktionsaksiomet (3) spiller – og nødvendigvis spille – den centrale rolle]: Lad n være et vilkårligt naturligt tal, og lad M være delmængden af N bestående af de naturlige tal m, for hvilke n + m er defineret. Vi ved da fra (4), at 1 tilhører M, dvs. M indeholder en ikke-efterfølger. Lad dernæst k være et vilkårligt element i M, dvs. n + k er defineret; dette omtales som induktionsantagelsen. Så vil også k + 1 tilhøre M; thi vi har jo i (5) defineret n + (k + 1) som E(n + k).

Da M således dels indeholder en ikke-efterfølger, og dels med et vilkårligt naturligt tal k også indeholder dettes efterfølger k + 1, så følger det af induktionsaksiomet, at M er hele N.

Bemærk [til senere brug], at additionen blev defineret sådan, at den associative lov gælder i det specialtilfælde, hvor sidste addend er 1 [jf. (5)].

Herefter kan multiplikation indføres på følgende måde. Vi starter igen beskedent med at definere multiplikation med 1. For et vilkårligt naturligt tal n defineres n·1 som n; altså:

Definition: n · 1 = n.

(6)

Dernæst kan n·2, dvs. n·(1 + 1) eller n·E(1), defineres som n·1 + n; og så kan n·3, dvs. n·(2 + 1) eller n·E(2), defineres som n·2 + n; osv. Generelt:

Definition: Hvis n·k er defineret, så definerer vi n·(k + 1)

(7)

som n·k + n.

Sætning 2

Gennem (6) og (7) er sikret, at n·m er defineret for alle naturlige tal n og m; dvs. multiplikation er en komposition i N.

Bevis: Lad n være et vilkårligt naturligt tal, og lad M være delmængden af N bestående af de naturlige tal m, for hvilke n·m er defineret. Vi ved da fra (6), at 1 tilhører M, dvs. M indeholder en ikke-efterfølger. Lad dernæst k være et vilkårligt element i M, dvs. n·k er defineret [induktionsantagelsen]. Så vil også k + 1 tilhøre M; thi vi har jo i (7) defineret n·(k + 1) som n·k + n.

Da M således dels indeholder en ikke-efterfølger, og dels med et vilkårligt naturligt tal k også indeholder dettes efterfølger k + 1, så følger det af induktionsaksiomet, at M er hele N.

Bemærk [til senere brug], at multiplikationen blev defineret som gentagen addition og sådan, at den ene distributive lov gælder i et specialtilfælde; det gælder jo nemlig, at n·(m + 1) = n·m + n = n·m + n·1.

Definition 1

For vilkårlige naturlige tal m og n siger vi, at m er mindre end n [og vi skriver dette symbolsk sådan: m < n], hvis og kun hvis der findes et naturligt tal k, sådan at m + k = n.

Man udtrykker alt i alt det hidtil sagte i Afsnit 5 kort ved at sige, at vi har indført/defineret +, · og < i N ved induktion.

Der forestår nu et ganske omfattende arbejde med at bevise, at < er en total, irrefleksiv ordningsrelation [jf. Afsnit 7], og at der for +, · og < gælder de velkendte regneregler [lidt herom i Afsnittene 6 og 9]. I dette arbejde spiller induktionsaksiomet på ny den helt centrale rolle. Imidlertid er beviserne – lige som de ovenstående – ret tekniske og næppe velegnede til at belyse induktionsaksiomets anvendelse "i praksis". Jeg foreslår derfor, at du – i første omgang – springer Afsnit 6 over og fra Afsnit 7 kun læser definitionerne.

6 Addition er associativ og kommutativ i N

I dette afsnit – som eventuelt i første omgang kan overspringes – vil jeg illustrere, hvordan induktionsaksiomet kan benyttes til at bevise nogle af de velkendte regneregler for naturlige tal.

Sætning 3

Den associative lov gælder for addition i N – dvs. udtrykt ved anvendelse af alkvantoren ∀ [jf. eventuelt Bog 2, Afsnit 28]:

m,n,pN: m + (n + p) = (m + n) + p.

Bevis: Lad m og n være vilkårlige naturlige tal, og lad mængden M være bestemt ved [symbolet nedenfor til højre læses: mængden af naturlige tal p, for hvilke …]

M = { pN | m + (n + p) = (m + n) + p }.

Vi skal bevise, at M er hele N. I kraft af additionens definition gælder, at 1 tilhører M [idet m + (n + 1) = (m + n) + 1 for alle naturlige tal m og n ifølge (5) i Afsnit 5kkMmnkmnk