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Vorkurs Mathematik für Ingenieure für Dummies

Für Dummies 2. Auflage

von: Thoralf Räsch
17,99 €
Verlag:	Wiley-VCH
Format:	EPUB
Veröffentl.:	27.03.2019
ISBN/EAN:	9783527811595
Sprache:	deutsch
Anzahl Seiten:	483

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Beschreibungen

Titelbeschreibung

Viele angehende Studenten haben gehörigen Respekt vor der Mathematik, wenn sie ein Ingenieursstudium beginnen, und das zu Recht. Aber Hilfe naht: Thoralf Räsch bringt Sie, egal wo Sie auf der Schule waren und wo Sie studieren werden, auf den Stand, dass Sie der Mathematikvorlesung im ersten Semester folgen können. Er erklärt Ihnen noch einmal die Grundrechenarten, zeigt, wie man mit Brüchen, Potenzen und Logarithmen rechnet und erläutert komplexe Zahlen, Gleichungen, Vektoren und Matrizen. Er hilft Ihnen, Folgen, Reihen und Funktionen zu verstehen und unterstützt Sie bei Ihren ersten Schritten in der Geometrie, der Differential- und Integralrechnung. So ist dies das perfekte Auffrischungsbuch vor Ihrem Studium.

Inhaltsverzeichnis

Über den Autor 9 Danksagung 9 Einleitung 23 Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand vieler Beispiele 23 Überall praktische Beispiele 23 Törichte Annahmen über den Leser 24 Konventionen in diesem Buch 24 Wie dieses Buch strukturiert ist 25 Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 25 Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 25 Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 26 Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 26 Teil V: Differentiation und Integralrechnung für eine Variable 26 Teil VI: Differentiation und Differentialgleichungen für zwei Variablen 26 Teil VII: Der Top-Ten-Teil 27 Die Symbole in diesem Buch 27 Den modularen Aufbau für sich nutzen 28 Teil I Zahlen Und Rechenoperationen 29 Kapitel 1 Zahlen und Grundrechenarten 31 Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 31 Eigenschaften der Grundrechenarten 33 Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 34 Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37 Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 38 Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 41 Und plötzlich wird’s irrational … und real! 43 Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 45 Das Summenzeichen 46 Kapitel 2 Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 47 Alles über Mengen 47 Mengen im Supermarkt? 47 Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 49 Von Zahlen, Mengen und Intervallen 50 Mit Mengen einfach rechnen können 51 Das Leben mit Teilmengen 51 Mengengleichheit 51 Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 52 Mengendifferenz und Komplementbildung 52 Potenzmenge einer Menge 53 Kreuzprodukt von Mengen 54 Venn-Diagramme 55 Prozentrechnung für den Alltag 57 Nur zwei Prozent Mieterhöhung 57 Das eigene Heim trotz Provision? 57 Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse 58 Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse 58 Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 58 Immer auf die genaue Formulierung achten 59 Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 59 Zinsrechnung zum Verstehen 59 Lohnender Zinsertrag 60 Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 60 Suche nach dem Startkapital 60 Taggenaue Zinsen 61 Kapitalwachstum: Zinseszins 61 Eine feste Anlage für zehn Jahre 61 Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 62 Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 62 Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 63 Kapitel 3 Logische Grundlagen und Beweismethoden 65 Logische Grundlagen 65 Wahre und falsche Aussagen 65 Aussagen verknüpfen 66 Die Mathematik als Sprache erkennen 68 Terme als die Worte im mathematischen Satz 68 Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 68 Mit Quantoren neue Formeln bilden 69 Notwendige und hinreichende Bedingungen 71 Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 73 Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 73 Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 76 Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 77 Methode 1: Direkter Beweis 77 Methode 2: Indirekter Beweis 78 Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 79 Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 80 Kapitel 4 Grundlagen von Gleichungen und Ungleichungen 85 Gleichungen in Angriff nehmen 85 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 85 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 87 Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 88 Ungleichungen in den Griff bekommen 90 Lineare Ungleichungen im Griff haben 90 Quadratische Ungleichungen zähmen 90 Echte Ungleichungen akzeptieren 91 Beträge ins Spiel bringen 91 Teil II Keine Angst Vor Gleichungen, Vektoren Und Matrizen 95 Kapitel 5 Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 97 Was komplexe Zahlen wirklich sind 97 Komplexe Rechenoperationen 99 Die komplexe Addition 99 Die komplexe Multiplikation 99 Die Konjugierte einer komplexen Zahl 100 Die komplexe Division 100 Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 101 Komplexe quadratische Gleichungen 102 Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 103 Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 104 Der Betrag einer komplexen Zahl 104 Einmal Polarkoordinaten und zurück 105 Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 106 Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 106 Komplexe Potenzen und Wurzeln 107 Anwendungen komplexer Zahlen 109 Kapitel 6 Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 113 Vektoren erleben 113 Vektoren veranschaulichen 115 Mit Vektoren anschaulich rechnen 116 Mit Vektoren rechnen 117 Betrag eines Vektors berechnen 120 Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 121 Schöne VektorraumTeilmengen: Untervektorräume bestimmen 124 Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 126 Arten von Linearen Gleichungssystemen 129 Homogene Gleichungssysteme 130 Inhomogene Gleichungssysteme 130 Überbestimmte Gleichungssysteme 131 Unterbestimmte Gleichungssysteme 132 Quadratische Gleichungssysteme 132 Nicht lösbare Gleichungssysteme 133 Graphische Lösungsansätze für LGS 134 Kapitel 7 Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 135 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 135 Punkte im Raum 136 Parametergleichung für Geraden 136 Zweipunktegleichung für Geraden 138 Parametergleichung für Ebenen 139 Dreipunktegteichung für Ebenen 140 Koordinatengteichung für Ebenen 141 Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 141 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 143 Kollision Während einer Flugshow in Las Vegas? 150 Kapitel 8 Überleben in der Welt der Matrizen 155 Was Matrizen eigentlich sind 156 Addition von Matrizen 157 Skalarmultiplikation von Matrizen 157 Multiplikation von Matrizen 157 Matrizen in Produktionsprozessen 158 Transponierte und symmetrische Matrizen 160 Keine Angst vor inversen Matrizen 160 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 161 Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 162 Der Rang von Matrizen 167 Matrizen invertieren in der Praxis 168 Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 169 Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 170 Matrizen und lineare Abbildungen 171 Lineare Abbildungen an Beispielen 171 Matrizen als lineare Abbildungen 172 Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 172 Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 173 Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 176 Matrizen und ihre Determinanten 177 Determinanten von (2 × 2) -Matrizen 177 Determinanten von (3 × 3) -Matrizen 177 Determinanten von allgemeinen Matrizen 178 Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 181 Die Cramersche Regel 181 Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 184 Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 185 Kreuzprodukt von Vektoren 186 Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 188 Drehungen in der Ebene 188 Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 190 Spiegelungen in der Ebene 190 Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 192 Teil III Funktionen, Folgen Und Reihen 195 Kapitel 9 Was Funktionen sind! 197 Was Funktionen eigentlich sind 197 Graphische Darstellung von Funktionen 199 Polynome einfach verstehen 200 Bruchrechnung: Rationale Funktionen 204 Keine Angst vor der Potgnomdivision 205 Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 206 Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 208 Von Umkehr- und inversen Funktionen 209 Trigonometrische Funktionen 210 Trigonometrische Funktionen zeichnen 211 Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten 212 Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 212 Kapitel 10 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 217 Grenzwerte einer Funktion verstehen 217 Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 218 Links- und rechtsseitige Grenzwerte 218 Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 219 Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 220 Grenzwerte für x gegen unendlich 220 Stetigkeit von Funktionen 221 Einfache Grenzwerte auswerten 224 Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 224 Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 225 Methode 1: Faktorisieren 225 Methode 2: Konjugierte Multiplikation 226 Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 226 Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 227 Grenzwerte bei unendlich auswerten 229 Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 230 Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 230 Kapitel 11 Von Folgen und Reihen 233 Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 233 Folgen aneinanderreihen 234 Konvergenz und Divergenz von Folgen 235 Grenzwerte mithilfe der Regel von l’Hospital bestimmen 236 Reihen summieren 237 Partialsummen 237 Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 238 Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 240 Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 240 Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 240 Geometrische Reihen 241 Harmonische Reihe 241 Teleskop-Reihen 242 Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 243 Der direkte Vergleich – Minoranten-/ Majorantenkriterium 243 Das Grenzwertkriterium 244 Quotienten- und Wurzelkriterium 246 Das Quotientenkriterium 246 Das Wurzel-Kriterium 247 Alternierende Reihen 248 Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 249 Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 250 Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 253 Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 255 Potenzreihen (er)kennen 255 Konvergenzbereich von Potenzreihen 257 Rechnen Sie mit Potenzreihen 258 Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 259 Teil IV Keine Angst Vor Geometrie 261 Kapitel 12 Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen der Geometrie 263 Geraden, Strahlen und Winkel 263 Winkel an geschnittenen Geraden 266 Strecken in der Ebene 267 Mit den Strahlensätzen rechnen 267 Goldener Schnitt 269 Das allgemeine Dreieck 271 Das gleichschenklige Dreieck 273 Das gleichseitige Dreieck 273 Das rechtwinklige Dreieck 274 Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 275 Dreiecke und ihre Seitenhalbierenden samt Schwerpunkte 275 Dreiecke und ihre Mittelsenkrechten samt Umkreisen 276 Dreiecke und ihre Winkelhalbierenden samt Inkreisen 276 Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkte 277 Kongruenz von Dreiecken 278 Ähnlichkeit von Dreiecken 279 Kapitel 13 Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum 283 Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über n-Ecke zu Kreisen 283 Vierecke (er)kennen lernen 283 Allgemeine und regelmäßige n-Ecke 289 Keine Angst vor Kreisen 291 Geometrische Körper – die dreidimensionale Welt 295 Die Welt der Prismen 296 Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 298 Zylinder aus Prismen entwickeln 301 Aus Pyramiden werden Kegel 302 Die Kugel – schlicht und makellos 303 Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehälter gesucht! 305 Platonische Körper genießen 307 Teil V Differential- Und Integralrechnung Für Eine Variable 309 Kapitel 14 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 311 Erste Schritte des Ableitens 311 Steigungen gesucht! 311 Steigung von Geraden 313 Steigungen von Parabeln 314 Der Differenzenquotient 315 Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 319 Grundlegende Regeln der Differentiation 321 Die Konstantenregel 321 Die Potenzregel 321 Die Summenregel – und die kennen Sie schon 322 Trigonometrische Funktionen differenzieren 322 Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 322 Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 324 Die Produktregel 324 Die Quotientenregel 324 Die Kettenregel 325 Implizite Differentiation 328 Logarithmische Differentiation 329 Differentiation von Umkehrfunktionen 330 Keine Angst vor höheren Ableitungen 331 Kapitel 15 Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 333 Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 333 Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 334 Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 335 Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 335 Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 335 Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 336 Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 336 Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 336 Lokale Extremwerte finden 337 Die kritischen Werte suchen 337 Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 339 Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 340 Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervall finden 341 Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereich finden 343 Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 345 Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 347 Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 350 Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 351 Das nützliche Taylorpolynom 353 Die Regel von l’Hospital 356 Nicht akzeptable Formen in Form bringen 357 Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 358 Kapitel 16 Eindimensionale Integration 361 Flächenberechnung – eine Einführung 361 Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 362 Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 366 Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 368 Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 370 Flächenfunktion beschreiben 370 Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 373 Die erste Version des Hauptsatzes 373 Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 375 Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 377 Kapitel 17 Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 381 Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 381 Umkehrregeln für Stamm funktionen 381 Genial einfach: Raten und Prüfen 382 Die Substitutionsmethode 384 Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 386 Partielle Integration: Teile und Herrsche! 387 Wählen Sie weise! 389 Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 390 Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 391 Kapitel 18 Spezielle Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 393 Integrale mit Sinus und Kosinus 393 Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 393 Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 394 Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 395 Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 395 Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 396 Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 397 Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 399 Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 399 Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 400 Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 401 Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 402 Bogenlängen bestimmen 404 Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 406 Teil VI Differential- Und Integralrechnung Für Zwei Variablen 409 Kapitel 19 Kurvendiskussion von Funktionen zweier Variablen 411 Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 412 Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 414 Schnitte von Graphen 414 Höhen- und Niveaulinien von Graphen 415 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 416 Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel 419 Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 421 Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 421 Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 422 Gewünschte Zugabe: Totales Differential 423 Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variablen 424 Implizite Funktionen differenzieren können 425 Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 426 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 429 Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 429 Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 430 Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 432 Extremwerte unter Nebenbedingungen 434 Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 434 Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 437 Kopf an Kopf Rennen – beide Verfahren im direkten Vergleich 438 Kapitel 20 Grundlagen der Differentialgleichungen 445 Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 445 Mit Isoktinen zur Lösung 447 Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 448 Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 450 Der einfachste Fall: y′=f (x) 450 Der Fall: y′=f (x) ⋅ g(y) – Trennung der Variablen 450 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 451 Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 452 Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 453 Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 454 Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 455 Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 456 Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 460 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 461 Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 462 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung lösen 463 Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 463 Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 464 Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 465 Anwendungen in der Schwingungslehre 467 Teil VII Der Top-Ten-Teil 469 Kapitel 21 Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 471 Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 471 Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 472 Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 472 Schauen Sie auch in die Bücher 472 Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 473 Gruppenarbeit nicht ausnutzen 473 Lernen Sie nicht nur für die Klausur 473 Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 474 Aus Fehlern lernen 474 Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 474 Zu guter Letzt ̆ 475 Stichwortverzeichnis 477

Autorenportrait

Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Darüber hinaus versucht er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn, interessierte Schüler von der Faszination der Mathematik zu überzeugen. Thoralf Räsch studierte an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte am Institut für Mathematik an der Universität Potsdam. Er ist Autor von "Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies" und "Mathematik der Physik für Dummies".